Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas: o termo geral da série é com
variando de
até o infinito. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência dessa série.
Informações dadas: o termo geral da série é
Passo 2
Observação útil (fato sobre séries com fator constante). Se
é uma sequência e
é uma constante real, então
Isto significa que multiplicar todos os termos de uma série por uma constante simplesmente multiplica a soma (quando ela existe) por essa constante. Consequência prática: para estudar a convergência de
basta estudar a convergência de
, porque
Passo 3
Escolha do método. Existem várias formas de mostrar que
(a série harmônica) diverge: teste integral, teste da comparação, argumento por agrupamento (Cauchy), entre outros. Vou usar o argumento por agrupamento porque é elementar, não usa cálculo de integrais e é fácil de memorizar para a prova.
Passo 4
Construção do argumento por agrupamento para
. Definimos as somas parciais
Vamos agrupar os termos em blocos de comprimentos que dobram a cada vez:
- bloco 1: apenas
; - bloco 2: apenas
; - bloco 3:
(2 termos); - bloco 4:
(4 termos); - bloco 5: os próximos
termos ; - e assim por diante, o
-ésimo bloco (para ) tem termos, indo de até .
Agora fazemos uma estimativa inferior para a soma de cada bloco (exceto o primeiro, que é
). Num bloco que vai de
até
, cada termo satisfaz
porque
. Esse bloco tem exatamente
termos, então a soma do bloco é, pelo menos,
Portanto, a cada bloco (a partir do terceiro bloco) acrescentamos pelo menos
à soma parcial. Contando o primeiro e o segundo blocos, obtemos para qualquer
que a soma após os
primeiros blocos satisfaz
Ao aumentar
arbitrariamente, o lado direito cresce sem limite (tende a
). Logo as somas parciais
não ficam limitadas: a série
diverge.
Passo 5
Conclusão para a série original. Como
diverge e
, multiplicar por
não transforma uma série divergente em convergente. Portanto
também diverge. (Intuição final: os termos
não tendem a zero rápido o suficiente para que as somas parciais se estabilizem.)
Resposta
A série
é divergente.