Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}
é convergente ou divergente.
Informações dadas: o termo geral da série é \frac{2}{n} com n variando de 1 até o infinito. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência dessa série.

Passo 2

Observação útil (fato sobre séries com fator constante). Se (a_n)_{n\ge1} é uma sequência e c é uma constante real, então
\sum_{n=1}^{\infty} c\,a_n = c\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Isto significa que multiplicar todos os termos de uma série por uma constante simplesmente multiplica a soma (quando ela existe) por essa constante. Consequência prática: para estudar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} basta estudar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, porque
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.

Passo 3

Escolha do método. Existem várias formas de mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge: teste integral, teste da comparação, argumento por agrupamento (Cauchy), entre outros. Vou usar o argumento por agrupamento porque é elementar, não usa cálculo de integrais e é fácil de memorizar para a prova.

Passo 4

Construção do argumento por agrupamento para \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}. Definimos as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Vamos agrupar os termos em blocos de comprimentos que dobram a cada vez:
  • bloco 1: apenas \frac{1}{1};
  • bloco 2: apenas \frac{1}{2};
  • bloco 3: \frac{1}{3}+\frac{1}{4} (2 termos);
  • bloco 4: \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} (4 termos);
  • bloco 5: os próximos 8 termos \frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16};
  • e assim por diante, o k-ésimo bloco (para k\ge2) tem 2^{k-2} termos, indo de n=2^{k-2}+1 até n=2^{k-1}.
Agora fazemos uma estimativa inferior para a soma de cada bloco (exceto o primeiro, que é \frac{1}{1}). Num bloco que vai de n=2^{k-2}+1 até n=2^{k-1}, cada termo satisfaz
\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2^{k-1}},
porque n \le 2^{k-1}. Esse bloco tem exatamente 2^{k-2} termos, então a soma do bloco é, pelo menos,
2^{k-2}\cdot \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1}{2}.
Portanto, a cada bloco (a partir do terceiro bloco) acrescentamos pelo menos \tfrac{1}{2} à soma parcial. Contando o primeiro e o segundo blocos, obtemos para qualquer m\ge1 que a soma após os m primeiros blocos satisfaz
S_{\text{após }m\text{ blocos}} \ge 1 + \frac{1}{2} + (m-2)\cdot\frac{1}{2} = 1 + \frac{m-1}{2}.ó
Ao aumentar m arbitrariamente, o lado direito cresce sem limite (tende a +\infty). Logo as somas parciais S_N não ficam limitadas: a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.

Passo 5

Conclusão para a série original. Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge e \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, multiplicar por 2 não transforma uma série divergente em convergente. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}
também diverge. (Intuição final: os termos \frac{2}{n} não tendem a zero rápido o suficiente para que as somas parciais se estabilizem.)

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n} é divergente.

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