Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x>0 \\\\ 3 x-1, \text { se } x \leq 0\end{array}\right. e g(x)=|3 x-6|. Determinar as funções abaixo e seus correspondentes domínios: (f+g)(x)
e g(x)=\lvert3x-6\rvert.
Queremos achar (f+g)(x) e seu domínio. Vamos usar conceitos de soma de funções, domínio por interseção e reescrita de valor absoluto em caso-sinal.
Passo 2
O domínio de f é \mathbb{R} (está definido para todo real) e o domínio de g também é \mathbb{R}. Logo, o domínio de f+g é a interseção
Para simplificar \lvert3x-6\rvert, analisamos o sinal de 3x-6:
se 3x-6\ge0\iff x\ge2, então \lvert3x-6\rvert=3x-6;
se 3x-6<0\iff x<2, então \lvert3x-6\rvert=6-3x.
Passo 5
Como agora há quebras em x=0 (de f) e em x=2 (de g), dividimos em três intervalos e somamos cada expressão:
Para x\le0: f(x)=3x-1, \lvert3x-6\rvert=6-3x, logo
(f+g)(x)=(3x-1)+(6-3x)=5.
Para 0<x<2: f(x)=2x+1, \lvert3x-6\rvert=6-3x, logo
(f+g)(x)=(2x+1)+(6-3x)=7 - x.
Para x\ge2: f(x)=2x+1, \lvert3x-6\rvert=3x-6, logo