Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x>0 \\\\ 3 x-1, \text { se } x \leq 0\end{array}\right. e g(x)=|3 x-6|. Determinar as funções abaixo e seus correspondentes domínios:
(f+g)(x)

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=\begin{cases}2x+1,&x>0,\\\ 3x-1,&x\le0,\end{cases}
e
g(x)=\lvert3x-6\rvert.
Queremos achar (f+g)(x) e seu domínio. Vamos usar conceitos de soma de funções, domínio por interseção e reescrita de valor absoluto em caso-sinal.

Passo 2

O domínio de f é \mathbb{R} (está definido para todo real) e o domínio de g também é \mathbb{R}. Logo, o domínio de f+g é a interseção
\Dom(f+g)=\mathbb{R}\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}.

Passo 3

Por definição,
(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Como f já é piecewise em x=0, escrevemos primeiro
(f+g)(x)= \begin{cases} (2x+1)+\lvert3x-6\rvert,&x>0,\\\ (3x-1)+\lvert3x-6\rvert,&x\le0. \end{cases}

Passo 4

Para simplificar \lvert3x-6\rvert, analisamos o sinal de 3x-6:
se 3x-6\ge0\iff x\ge2, então \lvert3x-6\rvert=3x-6;
se 3x-6<0\iff x<2, então \lvert3x-6\rvert=6-3x.

Passo 5

Como agora há quebras em x=0 (de f) e em x=2 (de g), dividimos em três intervalos e somamos cada expressão:
  1. Para x\le0:
    f(x)=3x-1, \lvert3x-6\rvert=6-3x, logo
    (f+g)(x)=(3x-1)+(6-3x)=5.
  2. Para 0<x<2:
    f(x)=2x+1, \lvert3x-6\rvert=6-3x, logo
    (f+g)(x)=(2x+1)+(6-3x)=7 - x.
  3. Para x\ge2:
    f(x)=2x+1, \lvert3x-6\rvert=3x-6, logo
    (f+g)(x)=(2x+1)+(3x-6)=5x - 5.

Resposta

O resultado e o domínio são
(f+g)(x)= \begin{cases} 5,&x\le0,\\\\ 7 - x,&0<x<2,\\\\ 5x - 5,&x\ge2, \end{cases} \quad \Dom(f+g)=\mathbb{R}.

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