Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique o critério utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso. Precisamos entender como os termos da série se comportam conforme
cresce e aplicar um teste que nos ajude a concluir se a soma tende a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Podemos reescrever
como
, então a série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar no comportamento do termo geral
à medida que
aumenta. Para entender isso, observamos que tanto o numerador quanto o denominador crescem exponencialmente, mas com bases diferentes: 4 no numerador e 3 no denominador.
Passo 4
Para comparar as taxas de crescimento, vamos considerar apenas as partes dominantes (as que mais crescem) do numerador e do denominador. Assim, temos aproximadamente:
Passo 5
Perceba que
é uma expressão exponencial com base maior que 1 (
). Isso significa que, conforme
cresce,
tende ao infinito.
Passo 6
Como o termo geral da série
se comporta de forma semelhante a
e este último cresce sem limites, concluímos que os termos da série não tendem a zero.
Passo 7
Segundo o Teste da Divergência (ou Critério do Termo Geral), se o limite do termo geral quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Divergência.