Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique o critério utilizado.
sumn=0^infty 4^n+13^n-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série sumn=0^infty 4^n+13^n-2 converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e critérios de convergência para resolver isso. Precisamos entender como os termos da série se comportam conforme n cresce e aplicar um teste que nos ajude a concluir se a soma tende a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Podemos reescrever 4^n+1 como 4 cdot 4^n, então a série fica:
sumn=0^infty 4 cdot 4^n3^n - 2

Passo 3

Agora, vamos focar no comportamento do termo geral 4 cdot 4^n3^n - 2 à medida que n aumenta. Para entender isso, observamos que tanto o numerador quanto o denominador crescem exponencialmente, mas com bases diferentes: 4 no numerador e 3 no denominador.

Passo 4

Para comparar as taxas de crescimento, vamos considerar apenas as partes dominantes (as que mais crescem) do numerador e do denominador. Assim, temos aproximadamente:
4 cdot 4^n3^n = 4 ( 43 )^n

Passo 5

Perceba que ( 43 )^n é uma expressão exponencial com base maior que 1 ( 43 > 1). Isso significa que, conforme n cresce, ( 43 )^n tende ao infinito.

Passo 6

Como o termo geral da série 4 cdot 4^n3^n - 2 se comporta de forma semelhante a 4 ( 43 )^n e este último cresce sem limites, concluímos que os termos da série não tendem a zero.

Passo 7

Segundo o Teste da Divergência (ou Critério do Termo Geral), se o limite do termo geral quando n tende ao infinito não for zero, a série diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty 4^n+13^n-2 diverge pelo Teste da Divergência.

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