Sabendo que os pontos A(5,4), B(-3,2) e C(-2,-2) são vértices do retângulo A B C D, determine as coordenadas do:
a) vértice D. D(6,0)

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve encontrar as coordenadas do quarto vértice de um retângulo, dado que já conhecemos os pontos , e . Vamos usar geometria analítica, especificamente as propriedades dos retângulos, para resolver isso. Precisamos entender como os lados e as diagonais de um retângulo se comportam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um retângulo, os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Além disso, as diagonais se cortam no ponto médio, ou seja, elas dividem-se em segmentos iguais.

Passo 3

Vamos começar encontrando o ponto médio da diagonal que liga M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) a M = ( 5 + (-2)2, 4 + (-2)2 ) = ( 32, 22 ) = (1.5, 1) . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio da diagonal é .

Passo 4

Como as diagonais de um retângulo se cortam no ponto médio, o ponto médio da diagonal M = ( -3 + x2, 2 + y2 ) = (1.5, 1) também deve ser -3 + x2 = 1.5 e 2 + y2 = 1 . Sabemos o ponto , então podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar :
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para -3 + x2 = 1.5 implies -3 + x = 3 implies x = 6 :
2 + y2 = 1 implies 2 + y = 2 implies y = 0
Resolvendo a segunda equação para :

Resposta

Portanto, as coordenadas do vértice são .

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