Sabendo que os pontos do plano cartesiano A(0,0), B, C, D, E e F são os vértices, no sentido horário, de um hexágono regular de lado 4 , e que o vértice D está no eixo das abscissas sentido positivo, determine os pontos B, C, D, E e F.

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular de lado 4 cujos vértices, no sentido horário, são A(0,0), B, C, D, E, F, e que D fica sobre o eixo das abscissas no sentido positivo. Num hexágono regular o raio da circunferência circunscrita vale o próprio lado, isto é, R=4, e há ângulos centrais de 60^circ entre vértices consecutivos. Vamos achar primeiro o centro O e o ponto D, e depois usar ângulos para obter os outros vértices.

Passo 2

Em qualquer polígono regular de 6 lados os vértices opostos são diametralmente opostos na circunferência. Como D é oposto a A, temos
OD=-,OA
Mas A=(0,0), logo OA=(0,0)-O=-O e |OA|=4 |O|=4. Como D está sobre o eixo x positivo, O também deve estar no eixo x, e escolhemos O=(4,0) (a outra opção (-4,0) daria D no eixo negativo). Então
D=2O=(8,0)

Passo 3

Chamando thetak o ângulo central do k-ésimo vértice contado a partir de A, tomamos
theta0=pi(para A), thetak=pi-tfrackpi3(k=1,2,dots,5)
O vértice B corresponde a k=1 e C a k=2. Assim
B = O + 4l(costfrac2pi3,;sintfrac2pi3r) = l(4+4cdot(-tfrac12),;0+4cdottfracraiz32r) = l(2,,2raiz3r),
C = O + 4l(costfracpi3,;sintfracpi3r) = l(4+4cdottfrac12,;0+4cdottfracraiz32r) = l(6,,2raiz3r)

Passo 4

Seguindo o mesmo esquema para k=4,5 (pois k=3 já deu D), obtemos
E = O + 4l(cos(-tfracpi3),;sin(-tfracpi3)r) = l(4+2,;0-2raiz3r) = l(6,,-2raiz3r),
F = O + 4l(cos(-tfrac2pi3),;sin(-tfrac2pi3)r) = l(4-2,;0-2raiz3r) = l(2,,-2raiz3r)

Resposta

B=(2,2raiz3)
C=(6,2raiz3)
D=(8,0)
E=(6,-2raiz3)
F=(2,-2raiz3)

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