Sabendo que a proposição
é falsa e que
é verdadeira, determine os valores lógicos das proposições
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre proposições lógicas e pede para determinar os valores lógicos de
,
,
e
.
Informações fornecidas:
- A proposição
é falsa. - A proposição
é verdadeira.
O que se pede:
- Determinar se cada uma das proposições
, , e é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Vamos usar o comportamento da implicação para extrair informação da primeira afirmação. Lembre que a implicação
é falsa somente no caso em que
é verdadeira e
é falsa; nos outros três casos ela é verdadeira.
Aplicando isso a
: como essa implicação é falsa, tem que acontecer exatamente o caso crítico:
e
Portanto já concluímos
é verdadeira e que a disjunção
é falsa.
Passo 3
Agora explique o que significa a disjunção ser falsa. A disjunção
(lê-se "
ou
") é falsa somente quando ambos os componentes são falsos. Em símbolos:
Como já obtivemos que
é falsa, concluímos:
e
Passo 4
Agora use a segunda informação, que é sobre a bicondicional. Lembre que a bicondicional
é verdadeira exatamente quando
e
têm o mesmo valor lógico (ou ambos verdadeiros, ou ambos falsos).
Temos
verdadeira. Já sabemos, do Passo 2, que
Para que a bicondicional seja verdadeira com
verdadeira, o lado esquerdo
também precisa ser verdadeiro. Logo:
Passo 5
Explique o que significa a conjunção ser verdadeira. A conjunção
é verdadeira somente quando ambos
e
são verdadeiros.
Aplicando a
: para ela ser verdadeira, é necessário que
seja verdadeira e que
seja verdadeira. Ou seja:
e
Mas do Passo 3 já temos que
é falsa; portanto
é verdadeira — isso é consistente com a necessidade acima. Assim a única conclusão nova é que:
Passo 6
Juntando todas as conclusões:
- Do Passo 2:
é verdadeira. - Do Passo 3:
é falsa e é falsa. - Do Passo 5:
é verdadeira.
Verificamos também que essas atribuições satisfazem ambas as proposições iniciais:
-
fica , que é falsa (como dado). -
fica , que é verdadeira (como dado).