Sabendo que a proposição p \rightarrow(r \vee s) é falsa e que (q \wedge \neg s) \leftrightarrow p é verdadeira, determine os valores lógicos das proposições p, q, r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre proposições lógicas e pede para determinar os valores lógicos de p, q, r e s.
Informações fornecidas:
  • A proposição p \rightarrow (r \vee s) é falsa.
  • A proposição (q \wedge \neg s) \leftrightarrow p é verdadeira.
O que se pede:
  • Determinar se cada uma das proposições p, q, r e s é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

Vamos usar o comportamento da implicação para extrair informação da primeira afirmação. Lembre que a implicação A \rightarrow B é falsa somente no caso em que A é verdadeira e B é falsa; nos outros três casos ela é verdadeira.
Aplicando isso a p \rightarrow (r \vee s): como essa implicação é falsa, tem que acontecer exatamente o caso crítico:
p \text{ é verdadeira}é
e
(r \vee s) \text{ é falsa.}é
Portanto já concluímos p é verdadeira e que a disjunção r \vee s é falsa.

Passo 3

Agora explique o que significa a disjunção ser falsa. A disjunção r \vee s (lê-se " r ou s ") é falsa somente quando ambos os componentes são falsos. Em símbolos:
r \vee s \text{ é falsa} \iff r \text{ é falsa e } s \text{ é falsa.}ééé
Como já obtivemos que r \vee s é falsa, concluímos:
r \text{ é falsa}é
e
s \text{ é falsa.}é

Passo 4

Agora use a segunda informação, que é sobre a bicondicional. Lembre que a bicondicional A \leftrightarrow B é verdadeira exatamente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ou ambos verdadeiros, ou ambos falsos).
Temos (q \wedge \neg s) \leftrightarrow p verdadeira. Já sabemos, do Passo 2, que
p \text{ é verdadeira.}é
Para que a bicondicional seja verdadeira com p verdadeira, o lado esquerdo (q \wedge \neg s) também precisa ser verdadeiro. Logo:
q \wedge \neg s \text{ é verdadeira.}é

Passo 5

Explique o que significa a conjunção ser verdadeira. A conjunção A \wedge B é verdadeira somente quando ambos A e B são verdadeiros.
Aplicando a q \wedge \neg s: para ela ser verdadeira, é necessário que q seja verdadeira e que \neg s seja verdadeira. Ou seja:
q \text{ é verdadeira}é
e
\neg s \text{ é verdadeira.}é
Mas do Passo 3 já temos que s é falsa; portanto \neg s é verdadeira — isso é consistente com a necessidade acima. Assim a única conclusão nova é que:
q \text{ é verdadeira.}é

Passo 6

Juntando todas as conclusões:
  • Do Passo 2: p é verdadeira.
  • Do Passo 3: r é falsa e s é falsa.
  • Do Passo 5: q é verdadeira.
Verificamos também que essas atribuições satisfazem ambas as proposições iniciais:
  • p \rightarrow (r \vee s) fica \text{V} \rightarrow (\text{F} \vee \text{F}) = \text{V} \rightarrow \text{F}, que é falsa (como dado).
  • (q \wedge \neg s) \leftrightarrow p fica (\text{V} \wedge \text{V}) \leftrightarrow \text{V} = \text{V} \leftrightarrow \text{V}, que é verdadeira (como dado).

Resposta

p = verdadeira
q = verdadeira
r = falsa
s = falsa

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