Sabendo que alpha in 2^o quadrante, beta in 1^o quadrante, sen a=817 e cos beta=35. Calcule sen(alpha-beta)sen(alpha+beta).

Passo 1

O enunciado diz que alpha está no 2 ^circ quadrante com senalpha=tfrac817 e beta no 1 ^circ quadrante com cosbeta=tfrac35. Queremos calcular
sen(alpha-beta)sen(alpha+beta)
Para isso vamos precisar de cosalpha e senbeta e depois usar as fórmulas de soma e diferença de ângulos.

Passo 2

Como senalpha=tfrac817, por Pitágoras temos
cosalpha = pmraiz1 - sen^2alpha = pmraiz1 - 64289 = pmraiz225289 = pm1517
Mas alpha está no 2 ^circ quadrante, onde o cosseno é negativo. Logo
cosalpha = -1517

Passo 3

Como cosbeta=tfrac35 e beta está no 1 ^circ quadrante (onde o seno é positivo), por Pitágoras
senbeta = raiz1 - cos^2beta = raiz1 - 925 = raiz1625 = 45

Passo 4

Agora usamos as fórmulas
sen(alpha-beta) = senalphacosbeta - cosalphasenbeta, sen(alpha+beta) = senalphacosbeta + cosalphasenbeta
Substituindo senalpha=tfrac817, cosalpha=-tfrac1517, cosbeta=tfrac35 e senbeta=tfrac45, obtemos
sen(alpha-beta) = 817cdot35 - l(-1517r)cdot45 = 2485 + 6085 = 8485,
sen(alpha+beta) = 817cdot35 + l(-1517r)cdot45 = 2485 - 6085 = -3685

Passo 5

Dividindo as duas expressões:
sen(alpha-beta)sen(alpha+beta) = tfrac8485-tfrac3685 = -8436 = -73

Resposta

-tfrac73

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