Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:
r1:lx=2 m t-3 y=1+3 t z=-4 t e r2:lx=2 y-1 z=-y+4

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3:
a reta r1 está em forma paramétrica
x=2m,t-3, y=1+3t, z=-4t
e a reta r2 está em forma implícita
x=2y-1, z=-y+4
Como queremos que r1 e r2 sejam ortogonais, precisamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a condição de ortogonalidade: o produto escalar entre eles deve ser zero.

Passo 2

Para r1, o parâmetro é t. Comparando com a forma genérica
x=x0+vx,t, y=y0+vy,t, z=z0+vz,t,
vemos que o vetor diretor de r1 é
vec v1=(2m,;3,;-4)

Passo 3

Para r2, podemos parametrizar usando y=s. Então
x=2s-1, y=s, z=-s+4,
e o vetor diretor de r2 é
vec v2=(2,;1,;-1)

Passo 4

A condição de ortogonalidade é
vec v1cdotvec v2=0
Calculando o produto escalar:
vec v1cdotvec v2=(2m,,3,,-4)cdot(2,,1,,-1) =2mcdot2 + 3cdot1 + (-4)cdot(-1) =4m +3 +4 =4m+7
Para ser zero, temos
4m+7=0 Longrightarrow m=-tfrac74

Resposta

m=-74

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