Sabendo que a série de Taylor em torno da origem das séries abaixo convergem, mostre que:
\ln (\cos x)=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}-\frac{x^{6}}{45} \cdots

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de \ln(\cos x) em torno de x=0. Para isso, vamos usar duas séries conhecidas que convergem na vizinhança de zero: a expansão de \cos x e a expansão de \ln(1+u). Em seguida, faremos a composição dessas séries e coletaremos os termos até x^6.

Passo 2

Primeiro, lembremos a série de Taylor de \cos x em torno de zero:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots.

Passo 3

Definimos
u = \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots.
Assim,
\ln(\cos x) = \ln\bigl(1+u\bigr).

Passo 4

Usamos a expansão de \ln(1+u):
\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \cdots.
Vamos calcular cada potência de u até ordem x^6:
u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots,
u^2 = \left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{x^2}{2}\right)\!\left(\frac{x^4}{24}\right) + \cdots = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + \cdots,
u^3 = \left(-\frac{x^2}{2}\right)^3 + \cdots = -\frac{x^6}{8} + \cdots.

Passo 5

Substituindo em \ln(1+u)=u - \tfrac12u^2 + \tfrac13u^3+\cdots e coletando termos até x^6:
  • Coeficiente de x^2: só vem de u, logo -\tfrac{x^2}{2}.
  • Coeficiente de x^4: vem de u e de -\tfrac12u^2: \frac{x^4}{24} - \frac12\!\cdot\frac{x^4}{4} = \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{8}x^4 = -\frac{1}{12}x^4.
  • Coeficiente de x^6: vem de u, de -\tfrac12u^2 e de \tfrac13u^3: -\frac{x^6}{720} + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\Bigl(-\frac{x^6}{24}\Bigr) + \frac13\Bigl(-\frac{x^6}{8}\Bigr) = -\frac{1}{720}x^6 + \frac{1}{48}x^6 - \frac{1}{24}x^6 = -\frac{1}{45}x^6.

Passo 6

Reagrupando os termos obtidos, concluímos a expansão até x^6:
\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} -\frac{x^4}{12} -\frac{x^6}{45} + \cdots.

Resposta

\ln(\cos x) = -\frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{4}}{12}\;-\;\frac{x^{6}}{45}\;+\;\cdots

Exercícios relacionados