Sabendo que a série de Taylor em torno da origem das séries abaixo convergem, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
em torno de
. Para isso, vamos usar duas séries conhecidas que convergem na vizinhança de zero: a expansão de
e a expansão de
. Em seguida, faremos a composição dessas séries e coletaremos os termos até
.
Passo 2
Primeiro, lembremos a série de Taylor de
em torno de zero:
Passo 3
Definimos
Assim,
Passo 4
Usamos a expansão de
:
Vamos calcular cada potência de
até ordem
:
Passo 5
Substituindo em
e coletando termos até
:
- Coeficiente de
: só vem de , logo . - Coeficiente de
: vem de e de : - Coeficiente de
: vem de , de e de :
Passo 6
Reagrupando os termos obtidos, concluímos a expansão até
: