Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + x\,y' - 2y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando séries de potências centradas em x=0. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,
determinar y' e y'', inserir na equação diferencial e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n. Em seguida ajustamos a_0 e a_1 pelas condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em forma de série:
y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^{n-1} =\sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,x^n,
y''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2} =\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.

Passo 3

Substituindo na equação
y''+x\,y'-2y=0
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n +\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^n -2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0.
Juntando todas as somas em potências de x^n:
  • Para n=0:
2\cdot1\,a_2 - 2\,a_0 = 0 \;\Longrightarrow\; a_2 = a_0.
  • Para n\ge1:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + \bigl(n-2\bigr)\,a_n = 0 \;\Longrightarrow\; a_{n+2} = -\frac{n-2}{(n+2)(n+1)}\,a_n.

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a_0=1, \quad y'(0)=a_1=0.
Então a_0=1 e a_1=0. Agora usamos a recorrência:
  • a_2 = a_0 = 1.
  • Para n=1: a_3 = -\tfrac{1-2}{3\cdot2}a_1 = 0.
  • Para n=2: a_4 = -\tfrac{2-2}{4\cdot3}a_2 = 0.
    E a partir daí todos os a_n com n\ge3 são zero, pois dependem de coeficientes já nulos.

Passo 5

Logo a série não tem termos além de n=0 e n=2, ficando
y(x)=a_0 + a_2x^2 = 1 + x^2.
Verificamos que isso satisfaz a EDO e as condições iniciais.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 1 + x^2.

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