Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando séries de potências centradas em
. Vamos assumir uma solução da forma
determinar
e
, inserir na equação diferencial e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes
. Em seguida ajustamos
e
pelas condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em forma de série:
Passo 3
Substituindo na equação
dá
Juntando todas as somas em potências de
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Das condições iniciais temos
Então
e
. Agora usamos a recorrência:
-
. - Para
: . - Para
: .
E a partir daí todos oscom são zero, pois dependem de coeficientes já nulos.
Passo 5
Logo a série não tem termos além de
e
, ficando
Verificamos que isso satisfaz a EDO e as condições iniciais.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é