Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\\'}-2 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências o problema de valor inicial
(1+x^{2})\,y''+2x\,y'-2y=0,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
Estamos no ponto regular x=0, então vamos supor uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
e determinar os coeficientes a_{n} usando as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{\,n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{\,n-2}.

Passo 3

Substituindo em (1+x^{2})y''+2x\,y'-2y=0 obtemos
(1+x^{2})\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} +2x\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1} -2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Reescrevendo cada soma com índice k\ge0:
\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)\,a_{k+2}\,x^{k} +\sum_{k=0}^{\infty}\bigl[k(k-1)+2k-2\bigr]a_{k}\,x^{k}=0.

Passo 4

O coeficiente de x^{k} impõe
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+\bigl(k^{2}+k-2\bigr)\,a_{k}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2}=-\frac{k-1}{\,k+1\,}\;a_{k}.

Passo 5

Pelas condições iniciais temos
\;a_{0}=y(0)=0 e a_{1}=y'(0)=0.
Da recorrência, todos os termos pares e ímpares transitivamente dependem de a_{0} ou a_{1}, logo
a_{n}=0\quad\forall n\ge0.

Resposta

y(x)=0.

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