Sabendo que o sistema \left\{\begin{array}{ll}2 x+y+4 z & =k \\\\ 3 x+2 y+5 z & =k \\\ x+\frac{y}{2}+2 z & =k^{2}\end{array}\right. é possível e não admite solução trivial, determine k.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + 4z = k,\\\\ 3x + 2y + 5z = k,\\\ x + \tfrac{y}{2} + 2z = k^2, \end{cases}
e pede os valores de k para os quais o sistema é compatível (tem solução) e não admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para isso vamos estudar a matriz dos coeficientes, ver sua singularidade e a condição de consistência do sistema não homogêneo.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\\\ 3 & 2 & 5\\\\ 1 & \frac12 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A:
\det(A) =2\bigl(2\cdot2 - 5\cdot\tfrac12\bigr) -1\bigl(3\cdot2 - 5\cdot1\bigr) +4\bigl(3\cdot\tfrac12 - 2\cdot1\bigr) =2(4-2.5) - (6-5) +4(1.5-2) =3 -1 -2 =0.
Como \det(A)=0, o sistema homogêneo associado tem soluções não triviais e o sistema completo pode ser ou incompatível ou ter infinitas soluções.

Passo 3

Para garantir compatibilidade do sistema não homogêneo, o vetor de termos independentes
b = \begin{pmatrix}k\k\k^2\end{pmatrix}
precisa satisfazer a mesma relação linear que existe entre as linhas de A. Note que da combinação
\text{Linha}_1 - 2\,\times\text{Linha}_3 =(2,1,4)-2\,(1,\tfrac12,2)=(0,0,0),
vemos que
\text{Linha}_1 = 2\,\text{Linha}_3.
Logo, para consistência, devemos ter
b_1 = 2\,b_3,
isto é,
k = 2\,k^2.

Passo 4

Resolvendo a equação
k = 2\,k^2 \;\Longrightarrow\; 2k^2 - k = 0 \;\Longrightarrow\; k\,(2k - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; k=0 \text{ ou } k=\tfrac12.

Passo 5

Precisamos excluir o caso k=0, pois aí b=(0,0,0) e o sistema não homogêneo admitiria a solução trivial (0,0,0). Para k=\tfrac12, temos b\neq0 e o sistema singular é compatível, logo admite apenas soluções não triviais.

Resposta

\displaystyle \tfrac12

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