Sabendo que o sistema \left\{\begin{array}{ll}2 x+y+4 z & =k \\\\ 3 x+2 y+5 z & =k \\\ x+\frac{y}{2}+2 z & =k^{2}\end{array}\right. é possível e não admite solução trivial, determine k.
e pede os valores de k para os quais o sistema é compatível (tem solução) e não admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para isso vamos estudar a matriz dos coeficientes, ver sua singularidade e a condição de consistência do sistema não homogêneo.
k = 2\,k^2 \;\Longrightarrow\; 2k^2 - k = 0 \;\Longrightarrow\; k\,(2k - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; k=0 \text{ ou } k=\tfrac12.
Passo 5
Precisamos excluir o caso k=0, pois aí b=(0,0,0) e o sistema não homogêneo admitiria a solução trivial (0,0,0). Para k=\tfrac12, temos b\neq0 e o sistema singular é compatível, logo admite apenas soluções não triviais.