Sabendo que o valor de \sum_{n=0}^{1013}\binom{2026}{2 n}(-3)^{n} é igual a S. Encontre o valor do logaritmo do módulo de S na base 2 é igual a:

Passo 1

O enunciado dá a soma
S=\sum_{n=0}^{1013}\binom{2026}{2n}(-3)^{n}
e pede o valor de \log_{2}\bigl(|S|\bigr). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: a soma acima, com termos envolvendo \binom{2026}{2n} e (-3)^n.
  • Pedido: calcular \log_{2}\bigl(|S|\bigr), isto é, o logaritmo na base 2 do módulo de S.

Passo 2

Vamos conectar a soma com uma expansão binomial de números complexos. Considere o número complexo
z=1+i\sqrt{3},
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Pelo Teorema binomial, para qualquer inteiro não negativo m vale
(z)^{m}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}1^{\,m-k}(i\sqrt{3})^{k}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}i^{k}(\sqrt{3})^{k}.
Se tomarmos também o conjugado \overline{z}=1-i\sqrt{3} e somarmos z^{m}+\overline{z}^{m}, os termos com k ímpar se cancelam (porque i^k muda de sinal), e os termos com k par duplicam.

Passo 3

Aplicando isso com m=2026, escrevemos explicitamente a soma dos dois binomiais:
z^{2026}+\overline{z}^{2026} =2\sum_{n=0}^{1013}\binom{2026}{2n}i^{2n}(\sqrt{3})^{2n}.
Agora note que i^{2n}=(-1)^{n} e (\sqrt{3})^{2n}=3^{n}. Portanto
z^{2026}+\overline{z}^{2026} =2\sum_{n=0}^{1013}\binom{2026}{2n}(-1)^{n}3^{n} =2\sum_{n=0}^{1013}\binom{2026}{2n}(-3)^{n}.
Comparando com a definição de S, obtemos a relação simples
z^{2026}+\overline{z}^{2026}=2S \quad\Rightarrow\quad S=\frac{z^{2026}+\overline{z}^{2026}}{2}=\Re\bigl(z^{2026}\bigr).
Ou seja, S é a parte real de z^{2026}.

Passo 4

Agora vamos escrever z em forma polar (forma exponencial) para usar De Moivre. Calcule o módulo e o argumento de z:
|z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2,
e o argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}, logo
\theta=\frac{\pi}{3}.
Portanto
z=2e^{i\pi/3}.

Passo 5

Pelo teorema de De Moivre,
z^{2026}=(2e^{i\pi/3})^{2026}=2^{2026}e^{i\frac{2026\pi}{3}}.
Como e^{i\frac{\pi}{3}} tem período 2\pi, convém reduzir o expoente angular módulo 2\pi. Note que e^{i\frac{\pi}{3}} tem período multiplicativa de 6 em potência inteira, então calcule 2026 módulo 6:
2026=6\cdot337+4,
ou seja 2026\equiv4\pmod{6}. Assim
e^{i\frac{2026\pi}{3}}=e^{i\frac{4\pi}{3}}.
Logo
z^{2026}=2^{2026}e^{i\frac{4\pi}{3}}.

Passo 6

Encontramos S=\Re(z^{2026}). Portanto
S=2^{2026}\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).
Calcule \cos\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right). Como \dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}, tem-se
\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}.
Substituindo,
S=2^{2026}\left(-\frac{1}{2}\right)=-2^{2025}.

Passo 7

Agora o módulo de S é
|S|=2^{2025}.
O logaritmo na base 2 do módulo é
\log_{2}\bigl(|S|\bigr)=\log_{2}\bigl(2^{2025}\bigr)=2025.

Resposta

2025

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