Sabendo que o valor de
é igual a
. Encontre o valor do logaritmo do módulo de
na base 2 é igual a:
Passo 1
O enunciado dá a soma
e pede o valor de
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado: a soma acima, com termos envolvendo
e . - Pedido: calcular
, isto é, o logaritmo na base do módulo de .
Passo 2
Vamos conectar a soma com uma expansão binomial de números complexos. Considere o número complexo
onde
é a unidade imaginária (
). Pelo Teorema binomial, para qualquer inteiro não negativo
vale
Se tomarmos também o conjugado
e somarmos
, os termos com
ímpar se cancelam (porque
muda de sinal), e os termos com
par duplicam.
Passo 3
Aplicando isso com
, escrevemos explicitamente a soma dos dois binomiais:
Agora note que
e
. Portanto
Comparando com a definição de
, obtemos a relação simples
Ou seja,
é a parte real de
.
Passo 4
Agora vamos escrever
em forma polar (forma exponencial) para usar De Moivre. Calcule o módulo e o argumento de
:
e o argumento
satisfaz
, logo
Portanto
Passo 5
Pelo teorema de De Moivre,
Como
tem período
, convém reduzir o expoente angular módulo
. Note que
tem período multiplicativa de 6 em potência inteira, então calcule
módulo
:
ou seja
. Assim
Logo
Passo 6
Encontramos
. Portanto
Calcule
. Como
, tem-se
Substituindo,
Passo 7
Agora o módulo de
é
O logaritmo na base
do módulo é
Resposta
2025