Sabendo que u=(1,-2,4), v=(3,5,1) e w=(2,1,-3) são vetores do IR^3. Calcule. ( 2,5 pontos)
a) 2 u+3 v (soma e multiplicação por escalar) ( 0,5 ponto)
b) u w (produto escalar ou interno) ( 0,5 ponto)
c) |v| (norma ou comprimento) ( 0,5 ponto)
d) ux w (produto vetorial) ( 0,5 ponto)
e) theta, sendo theta o ângulo entre u e w, sendo cos theta=u w|u||w| e theta=cos ^-1(u w|u||w|) (0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: u = (1, -2, 4) , v = (3, 5, 1) e w = (2, 1, -3) . O que precisamos fazer aqui é calcular algumas operações com esses vetores, como soma, produto escalar, norma, produto vetorial e o ângulo entre dois deles. Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e as fórmulas correspondentes.

Passo 2

a) Calcular 2u + 3v

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar e depois somar dois vetores. Multiplicar um vetor por um número (escalar) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número. Depois, somamos componente a componente dos dois vetores resultantes.
Vamos calcular:
2u = 2 times (1, -2, 4) = (2 times 1, 2 times (-2), 2 times 4) = (2, -4, 8)
3v = 3 times (3, 5, 1) = (3 times 3, 3 times 5, 3 times 1) = (9, 15, 3)
Agora, somamos 2u e 3v :
2u + 3v = (2 + 9, -4 + 15, 8 + 3) = (11, 11, 11)

Passo 3

b) Calcular u cdot w (Produto Escalar)

O produto escalar entre dois vetores é uma operação que multiplica componente a componente e depois soma esses produtos. A fórmula é:
u cdot w = ux wx + uy wy + uz wz
Vamos calcular:
u cdot w = (1)(2) + (-2)(1) + (4)(-3) = 2 - 2 - 12 = -12

Passo 4

c) Calcular |v| (Norma ou Comprimento)

A norma de um vetor é o seu comprimento no espaço. A fórmula para a norma de um vetor v = (vx, vy, vz) é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Vamos calcular para v = (3, 5, 1) :
|v| = raiz3^2 + 5^2 + 1^2 = raiz9 + 25 + 1 = raiz35 approx 5,916

Passo 5

d) Calcular u times w (Produto Vetorial)

O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial de u e w é:
u times w = ( uy wz - uz wy,, uz wx - ux wz,, ux wy - uy wx )
Vamos calcular:
u times w = ( (-2)(-3) - (4)(1),, (4)(2) - (1)(-3),, (1)(1) - (-2)(2) )
u times w = ( 6 - 4,, 8 + 3,, 1 + 4 ) = (2, 11, 5)

Passo 6

e) Calcular theta , o ângulo entre u e w

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar e as normas dos vetores:
cos theta = u cdot w|u| |w|
theta = cos^-1 ( u cdot w|u| |w| )
Primeiro, já calculamos u cdot w = -12 . Vamos agora calcular as normas de u e w :
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21 approx 4,583
|w| = raiz2^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 approx 3,741
Agora, substituímos na fórmula:
cos theta = -124,583 times 3,741 approx -1217,13 approx -0,700
theta = cos^-1(-0,700) approx 134,4^circ

Resposta

a) 2u + 3v = (11,, 11,, 11)
b) u cdot w = -12
c) |v| approx 5,916
d) u times w = (2,, 11,, 5)
e) theta approx 134,4^circ

Exercícios relacionados