Sabendo que
e
são vetores do
. Calcule. ( 2,5 pontos)
a)
(soma e multiplicação por escalar) ( 0,5 ponto)
b)
(produto escalar ou interno) ( 0,5 ponto)
c)
(norma ou comprimento) ( 0,5 ponto)
d)
(produto vetorial) ( 0,5 ponto)
e)
, sendo
o ângulo entre
e
, sendo
e
(0,5 ponto)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
,
e
. O que precisamos fazer aqui é calcular algumas operações com esses vetores, como soma, produto escalar, norma, produto vetorial e o ângulo entre dois deles. Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e as fórmulas correspondentes.
Passo 2
a) Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar e depois somar dois vetores. Multiplicar um vetor por um número (escalar) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número. Depois, somamos componente a componente dos dois vetores resultantes.
Vamos calcular:
Agora, somamos
e
:
Passo 3
b) Calcular
(Produto Escalar)
O produto escalar entre dois vetores é uma operação que multiplica componente a componente e depois soma esses produtos. A fórmula é:
Vamos calcular:
Passo 4
c) Calcular
(Norma ou Comprimento)
A norma de um vetor é o seu comprimento no espaço. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Vamos calcular para
:
Passo 5
d) Calcular
(Produto Vetorial)
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial de
e
é:
Vamos calcular:
Passo 6
e) Calcular
, o ângulo entre
e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar e as normas dos vetores:
Primeiro, já calculamos
. Vamos agora calcular as normas de
e
:
Agora, substituímos na fórmula:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)