Seja A B C D E F G H um paralelepípedo. Sendo \vec{u}-\overrightarrow{A B}, \vec{v}-\overrightarrow{A D} e \vec{w}-\overrightarrow{A E}, exprima \overrightarrow{H B} e \overrightarrow{C H} em função de \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo A B C D E F G H e define
\vec{u}=\overrightarrow{A B},
\vec{v}=\overrightarrow{A D} e
\vec{w}=\overrightarrow{A E}.
Queremos expressar em função de \vec{u},\vec{v},\vec{w} os vetores \overrightarrow{H B} e \overrightarrow{C H}. Para isso, vamos atribuir a A a posição de origem e usar somas de vetores para localizar os outros vértices.

Passo 2

Com A na origem, temos
\overrightarrow{A}=(0,0,0),
\overrightarrow{B}=\vec{u},
\overrightarrow{D}=\vec{v},
\overrightarrow{E}=\vec{w}.
Pelas propriedades do paralelepípedo,
\overrightarrow{C}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{D}=\vec{u}+\vec{v}
e
\overrightarrow{H}=\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E}=\vec{v}+\vec{w}.

Passo 3

Para \overrightarrow{H B} (vetor de H a B) calculamos
\overrightarrow{H B}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{H} =\vec{u} - (\vec{v}+\vec{w}) =\vec{u}-\vec{v}-\vec{w}.

Passo 4

Para \overrightarrow{C H} (vetor de C a H) calculamos
\overrightarrow{C H}=\overrightarrow{H}-\overrightarrow{C} =(\vec{v}+\vec{w}) - (\vec{u}+\vec{v}) =\vec{w}-\vec{u}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{H B}=\vec{u}-\vec{v}-\vec{w},\quad \overrightarrow{C H}=\vec{w}-\vec{u}.

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