Sabendo-se que os vetores u, v, w formam dois a dois, ângulo de 60^circ e são, tais que: |u|=4,|v|=2 e |w|=1. Determine:
ang (u+v, v-w)

Passo 1

O enunciado informa três vetores u,v,w que formam entre si ângulos de 60^circ e têm normas |u|=4, |v|=2, |w|=1. Pede-se o ângulo entre u+v e v-w.
Conteúdo: produto escalar e relação com ângulo entre vetores. Vamos precisar calcular produtos escalares entre combinações lineares e normas dessas somas e diferenças.

Passo 2

Usando a definição
ucdot v=|u||v|cos60^circ
e cos60^circ=tfrac12, temos
ucdot v = 4cdot2cdottfrac12 = 4
De modo semelhante,
ucdot w = 4cdot1cdottfrac12 = 2, vcdot w = 2cdot1cdottfrac12 = 1

Passo 3

O produto escalar desejado é
(u+v)cdot(v-w) = ucdot v - ucdot w + vcdot v - vcdot w
Substituindo os valores e |v|^2=vcdot v=4, obtemos
(u+v)cdot(v-w)=4 - 2 + 4 - 1 = 5

Passo 4

Agora calculamos as normas:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,ucdot v + |v|^2 =16 + 2cdot4 + 4 = 28,
logo |u+v|=raiz28=2raiz7.
|v-w|^2 = |v|^2 - 2,vcdot w + |w|^2 =4 -2cdot1 +1 =3,
logo |v-w|=raiz3.

Passo 5

O cosseno do ângulo theta entre u+v e v-w é
costheta =(u+v)cdot(v-w)|u+v|;|v-w| =52raiz7;raiz3 =52raiz21
Portanto
theta = arccos!l(tfrac52raiz21r) approx 56,99^circ

Resposta

theta = arccos!l(tfrac52raiz21r)approx 57^circ

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