Sejam U e W são subespaços vetoriais do espaço vetorial V=R^13, dim(U)=8 e dim(W)=7. Determine o menor e o maior valor possível para a:
dim(U cap W)

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de V= R^13 com
dim U=8 e dim W=7, e pede o menor e o maior valor possíveis de dim(Ucap W).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Fórmula de Grassmann) para subespaços.

Passo 2

Pela Fórmula de Grassmann:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Além disso sabemos que
max(dim U,dim W);<=;dim(U+W);<=;dim V=13

Passo 3

Para encontrar o menor valor de dim(Ucap W), maximizar dim(U+W).
O máximo possível é dim(U+W)=min(dim U+dim W,;13)=min(8+7,13)=13.
Logo,
dim(Ucap W)=dim U+dim W-dim(U+W)=8+7-13=2

Passo 4

Para encontrar o maior valor de dim(Ucap W), minimizar dim(U+W).
O mínimo possível é dim(U+W)=max(dim U,dim W)=8.
Então
dim(Ucap W)=8+7-8=7

Resposta

O menor valor possível é 2 e o maior valor possível é 7.

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