Sabendo-se que x-4,2 x+4 e 10x - 4 são termos consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.

Passo 1

O enunciado diz que os três termos x-4, 2x+4 e 10x-4 são termos consecutivos de uma P.G. (progressão geométrica) e pede os valores de x para que todos sejam positivos. Vamos usar o fato de que o quociente entre termos consecutivos de uma P.G. é constante e, em seguida, impor a condição de positividade.

Passo 2

Em uma P.G. com termos a₁, a₂ e a₃, sabemos que
a2a1=a3a2
Aqui temos a₁ = x-4, a₂ = 2x+4 e a₃ = 10x-4. Então montamos a equação:

Passo 3

2x+4x-4=10x-42x+4
Expandindo e simplificando:

Passo 4

Multiplicando em cruz:
(2x+4)^2=(x-4)(10x-4)
Logo,
4x^2+16x+16=10x^2-44x+16
Passando todos os termos para um lado:
0=6x^2-60x=6x(x-10)
Isso dá as soluções x=0 ou x=10.

Passo 5

Agora impondo que todos os termos sejam positivos:
Precisamos de
x-4>0,
2x+4>0,
10x-4>0
Essas desigualdades exigem x>4, x>-2 e x>0.4, ou seja, x>4. Dessa forma, de x=0 e x=10, apenas x=10 satisfaz a positividade de todos os termos.

Resposta

x = 10

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