Sabendo-se que
e 10x - 4 são termos consecutivos de uma P.G., calcule
de modo que eles sejam positivos.
Passo 1
O enunciado diz que os três termos x-4, 2x+4 e 10x-4 são termos consecutivos de uma P.G. (progressão geométrica) e pede os valores de x para que todos sejam positivos. Vamos usar o fato de que o quociente entre termos consecutivos de uma P.G. é constante e, em seguida, impor a condição de positividade.
Passo 2
Em uma P.G. com termos a₁, a₂ e a₃, sabemos que
Aqui temos a₁ = x-4, a₂ = 2x+4 e a₃ = 10x-4. Então montamos a equação:
Passo 3
Expandindo e simplificando:
Passo 4
Multiplicando em cruz:
Logo,
Passando todos os termos para um lado:
Isso dá as soluções x=0 ou x=10.
Passo 5
Agora impondo que todos os termos sejam positivos:
Precisamos de
Precisamos de
Essas desigualdades exigem x>4, x>-2 e x>0.4, ou seja, x>4. Dessa forma, de x=0 e x=10, apenas x=10 satisfaz a positividade de todos os termos.
Resposta
x = 10