Seja f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por f(x)=\log _{x} \alpha, com \alpha>1. Sabendo que
f\left(\alpha^{3}\right)=\log _{2} \alpha
é correto afirmar que o valor de \alpha é igual a:
(a) \sqrt{2}
(b) \sqrt[4]{2}
(c) \sqrt[3]{2}
(d) 2^{3}
(e) 2^{2}

Passo 1

O enunciado define a função
f:(1,+\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\log_{x}\alpha,
com \alpha>1, e dá a condição
f\bigl(\alpha^{3}\bigr)=\log_{2}\alpha.
O objetivo é encontrar \alpha. Vamos usar propriedades de logaritmo e mudança de base.

Passo 2

Compute f(\alpha^{3}) usando mudança de base:
f(\alpha^{3})=\log_{\alpha^{3}}\alpha =\frac{\ln\alpha}{\ln(\alpha^{3})} =\frac{\ln\alpha}{3\ln\alpha} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Igualando ao valor dado, temos
\frac{1}{3}=\log_{2}\alpha.
Para resolver, aplicamos a definição de logaritmo:
\alpha = 2^{1/3}.

Resposta

(c) \sqrt[3]{2}

Exercícios relacionados