Sabendo que y=f(x) está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule y^prime :
tan y sen x=x y

Passo 1

O enunciado define y=f(x) implicitamente pela equação
tan y ,sin x = x,y
Para encontrar y'=dydx vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo tan y ,sin x em relação a x, temos
ddxl(tan y sin xr) = l(sec^2 ycdot y'r)sin x + tan ycdotcos x

Passo 3

Diferenciando o lado direito x,y,
ddx(x,y) = 1cdot y + xcdot y' = y + x,y'

Passo 4

Igualando as derivadas e agrupando os termos com y',
sec^2 y,sin x;y' + tan ycos x = y + x,y' Longrightarrow sec^2 y,sin x;y' - x,y' = y - tan ycos x

Passo 5

Fatorando y' e isolando,
y'l(sec^2 y,sin x - xr) = y - tan ycos x Longrightarrow y' = y - tan ycos xsec^2 y,sin x - x

Resposta

y' = y - tan ycos xsec^2 y,sin x - x

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