Um saco contém doze bolas, indistinguíveis ao tato: três bolas com o número 1 , cinco bolas com o número 2 e quatro bolas com o número 3. Retiram-se simultaneamente três bolas do saco, ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma dos números das bolas retiradas ser igual a cinco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um saco com 12 bolas: 3 com o número 1, 5 com o número 2 e 4 com o número 3. Vamos tirar 3 bolas de uma vez, aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de a soma dos números das bolas retiradas ser igual a cinco?
Aqui, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve calcular combinações possíveis de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras diferentes podemos tirar 3 bolas dessas 12. Para isso, usamos a combinação, que é uma forma de contar quantos grupos diferentes podemos formar sem se importar com a ordem.
A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • “!” representa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos:
C(12, 3) = 12!3! times (12 - 3)! = 12 times 11 times 103 times 2 times 1 = 220
Então, existem 220 maneiras diferentes de tirar 3 bolas do saco.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar de quantas dessas 220 maneiras a soma dos números das bolas será igual a 5.
Vamos listar as possíveis combinações que resultam em soma 5:
  1. Dois 1’s e um 3: 1 + 1 + 3 = 5
  2. Um 1 e dois 2’s: 1 + 2 + 2 = 5
Vamos calcular quantas combinações existem para cada caso.
Caso 1: Dois 1’s e um 3
  • Número de maneiras de escolher 2 bolas com número 1: C(3, 2) = 3
  • Número de maneiras de escolher 1 bola com número 3: C(4, 1) = 4
  • Total de combinações para esse caso: 3 times 4 = 12
Caso 2: Um 1 e dois 2’s
  • Número de maneiras de escolher 1 bola com número 1: C(3, 1) = 3
  • Número de maneiras de escolher 2 bolas com número 2: C(5, 2) = 10
  • Total de combinações para esse caso: 3 times 10 = 30

Passo 5

Agora, somamos as combinações favoráveis dos dois casos:
12 (Caso 1) + 30 (Caso 2) = 42
Então, há 42 combinações que resultam em uma soma de 5.
Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
P = 42220 = 21110 approx 0,1909

Resposta

A probabilidade de que a soma dos números das três bolas retiradas seja igual a cinco é aproximadamente 19,09%.

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