Um saco contém doze bolas, indistinguíveis ao tato: três bolas com o número 1 , cinco bolas com o número 2 e quatro bolas com o número 3. Retiram-se simultaneamente três bolas do saco, ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma dos números das bolas retiradas ser igual a cinco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um saco com 12 bolas: 3 com o número 1, 5 com o número 2 e 4 com o número 3. Vamos tirar 3 bolas de uma vez, aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de a soma dos números das bolas retiradas ser igual a cinco?
Aqui, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve calcular combinações possíveis de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras diferentes podemos tirar 3 bolas dessas 12. Para isso, usamos a combinação, que é uma forma de contar quantos grupos diferentes podemos formar sem se importar com a ordem.
A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
- “!” representa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 3
Aplicando a fórmula, temos:
Então, existem 220 maneiras diferentes de tirar 3 bolas do saco.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar de quantas dessas 220 maneiras a soma dos números das bolas será igual a 5.
Vamos listar as possíveis combinações que resultam em soma 5:
- Dois 1’s e um 3:
- Um 1 e dois 2’s:
Vamos calcular quantas combinações existem para cada caso.
Caso 1: Dois 1’s e um 3
- Número de maneiras de escolher 2 bolas com número 1:
- Número de maneiras de escolher 1 bola com número 3:
- Total de combinações para esse caso:
Caso 2: Um 1 e dois 2’s
- Número de maneiras de escolher 1 bola com número 1:
- Número de maneiras de escolher 2 bolas com número 2:
- Total de combinações para esse caso:
Passo 5
Agora, somamos as combinações favoráveis dos dois casos:
Então, há 42 combinações que resultam em uma soma de 5.
Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
Resposta
A probabilidade de que a soma dos números das três bolas retiradas seja igual a cinco é aproximadamente 19,09%.