Qual sal precipitará primeiro quando \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CrO}_{4} sólido for gradualmente adicionado a uma solução contendo \mathrm{Pb}^{2+} 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e \mathrm{Ba}^{2+} 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ? Qual será a concentração molar do íon que primeiro se precipita no momento em que o segundo precipitado começar a se formar? \mathrm{K}_{\mathrm{ps}} \left(\mathrm{PbCrO}_{4}\right)=1,8 \cdot 10^{-14} e \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}\left(\mathrm{BaCrO}_{4}\right)=2,4 \cdot 10^{-10} . \mathrm{PbCrO}_{4} precipita primeiro, pois os dois sólidos têm mesma atomicidade, e o cromato de chumbo(II) tem menor \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}.
\frac{1,8 \cdot 10^{-14}}{2,4 \cdot 10^{-10}}=\frac{\left[\mathrm{Pb}^{2+}\right]}{0,010}
\left[\mathrm{Pb}^{2+}\right]=7,5 \cdot 10^{-7} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Perguntas: (1) Qual sal precipita primeiro quando adicionamos sólido \mathrm{Na}_{2}\mathrm{CrO}_{4} a uma solução que contém \mathrm{Pb}^{2+} e \mathrm{Ba}^{2+}? (2) Qual é a concentração molar do íon que precipita primeiro no instante em que o segundo precipitado começa a se formar?
  • Dados fornecidos:
    • Concentrações iniciais: \left[\mathrm{Pb}^{2+}\right]_{0}=0{,}010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e \left[\mathrm{Ba}^{2+}\right]_{0}=0{,}010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • Produtos de solubilidade: \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}(\mathrm{PbCrO}_{4})=1{,}8\cdot10^{-14} e \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}(\mathrm{BaCrO}_{4})=2{,}4\cdot10^{-10}.
    • Estamos adicionando \mathrm{CrO}_{4}^{2-} (via \mathrm{Na}_{2}\mathrm{CrO}_{4}) gradualmente até que comecem a precipitar sais cromato.
  • Observação: não há informações extras na figura; todas as quantidades necessárias estão acima.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): produto de solubilidade e condição de precipitação.
  • Para um sal pouco solúvel do tipo \mathrm{MCrO}_{4} (onde \mathrm{M}^{2+} é \mathrm{Pb}^{2+} ou \mathrm{Ba}^{2+}) a expressão do produto de solubilidade é
K_{sp}=[\mathrm{M}^{2+}]\,[\mathrm{CrO}_4^{2-}].
  • O “produto iônico” Q tem a mesma forma de K_{sp}: Q=[\mathrm{M}^{2+}]\,[\mathrm{CrO}_4^{2-}]. Regra prática:
    • Se Q<K_{sp} → solução insaturada (não precipita).
    • Se Q=K_{sp} → condição de saturação (precipitação começa a ocorrer).
    • Se Q>K_{sp} → supersaturação e precipitação efetiva.
  • Como adicionamos \mathrm{CrO}_4^{2-} a partir de zero, o primeiro sal a precipitar será aquele que atingir Q=K_{sp} com o menor valor de [\mathrm{CrO}_4^{2-}] necessário. Para este tipo de sal 1:1, o valor crítico de [\mathrm{CrO}_4^{2-}] para iniciar precipitação é
[\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit}}=\frac{K_{sp}}{[\mathrm{M}^{2+}]_{\text{inicial}}}.
Expliquei: como K_{sp}=[\mathrm{M}^{2+}][\mathrm{CrO}_4^{2-}], isolamos [\mathrm{CrO}_4^{2-}].

Passo 3

Calcular [\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit}} para cada cátion usando as concentrações iniciais 0{,}010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Para \mathrm{PbCrO}_4:
[\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Pb}}=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbCrO}_4)}{[\mathrm{Pb}^{2+}]_{0}} =\frac{1{,}8\cdot10^{-14}}{0{,}010}.
Dividir por 0{,}010=1\cdot10^{-2} aumenta o expoente em 2:
[\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Pb}}=1{,}8\cdot10^{-12}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Para \mathrm{BaCrO}_4:
[\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Ba}}=\frac{K_{sp}(\mathrm{BaCrO}_4)}{[\mathrm{Ba}^{2+}]_{0}} =\frac{2{,}4\cdot10^{-10}}{0{,}010} =2{,}4\cdot10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 4

Comparação e conclusão sobre qual precipita primeiro (explicação intuitiva).
  • Temos [\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Pb}}=1{,}8\cdot10^{-12} e [\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Ba}}=2{,}4\cdot10^{-8}.
  • O menor valor de [\mathrm{CrO}_4^{2-}] necessário corresponde a \mathrm{PbCrO}_4. Isso significa que ao adicionar cromato, primeiro alcançamos a condição Q=K_{sp} para o cromato de chumbo; portanto \mathrm{PbCrO}_4 precipita primeiro.
  • Intuição: com as mesmas concentrações iniciais e mesma estequiometria, o sal com menor K_{sp} é o menos solúvel e precipita com menos ânions.

Passo 5

Determinar a concentração de \mathrm{Pb}^{2+} (o íon que precipita primeiro) no instante em que o segundo precipitado ( \mathrm{BaCrO}_4) começa a se formar.
  • No instante em que \mathrm{BaCrO}_4 começa a precipitar, a concentração de \mathrm{CrO}_4^{2-} atingiu o valor crítico para o bário:
[\mathrm{CrO}_4^{2-}]=[\mathrm{CrO}_4^{2-}]_{\text{crit, Ba}}=2{,}4\cdot10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Nesse mesmo instante, o equilíbrio do par \mathrm{PbCrO}_4 impõe:
K_{sp}(\mathrm{PbCrO}_4)=[\mathrm{Pb}^{2+}]\,[\mathrm{CrO}_4^{2-}].
Isolando [\mathrm{Pb}^{2+}]:
[\mathrm{Pb}^{2+}]=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbCrO}_4)}{[\mathrm{CrO}_4^{2-}]}=\frac{1{,}8\cdot10^{-14}}{2{,}4\cdot10^{-8}}.
  • Fazer a divisão de mantissas e expoentes:
    • \dfrac{1{,}8}{2{,}4}=0{,}75.
    • 10^{-14}/10^{-8}=10^{-6}.
    • Portanto
[\mathrm{Pb}^{2+}]=0{,}75\cdot10^{-6}=7{,}5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Interpretação: a concentração remanescente de \mathrm{Pb}^{2+} na solução naquele instante é muito baixa comparada com os 0{,}010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} iniciais, porque a maior parte do chumbo já precipitou como \mathrm{PbCrO}_4.

Passo 6

Dica rápida para prova (prática e mentalidade):
  • Para sais simples 1:1 compare diretamente os K_{sp} ou calcule [\text{ânion}]_{\text{crit}}=K_{sp}/[\text{cátion}]âá. O menor [\text{ânion}]_{\text{crit}}â precipita primeiro.
  • Se precisarem da concentração do primeiro cátion quando o segundo começa, use o K_{sp} do primeiro dividido pelo [\text{ânion}]â crítico do segundo — é um truque muito comum em provas.
  • Força — você chegou até aqui e entendeu o raciocínio; isso conta muito na hora da prova!

Resposta

\mathrm{PbCrO}_{4} precipita primeiro.
\left[\mathrm{Pb}^{2+}\right]=7{,}5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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