Sal é usado para preservar uma fatia 4,8 milimetros de salmão. A concentração de sal na superfície é 0,533 \mathrm{~kg} de sal / \mathrm{kg} salmão, e a concentração inicial é de 0,012 \mathrm{~kg} de sal / \mathrm{kg} salmão. Se a difusividade mássica de sal no salmão é 8,78.10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, determinar o tempo necessário para que a concentração média em massa atinja 0,4 \mathrm{~kg} de sal / \mathrm{kg} salmão.

Passo 1

O enunciado trata da difusão de sal em uma fatia de salmão de espessura 4,8\,\mathrm{mm}. A concentração inicial de sal no interior é C_i=0,012\,\mathrm{kg/kg}, a concentração na superfície é mantida em C_s=0,533\,\mathrm{kg/kg}, e a difusividade mássica é D=8,78\times10^{-11}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Queremos o tempo para que a concentração média C_{\mathrm{média}}(t)é atinja 0,4\,\mathrm{kg/kg}. Esse é um problema de difusão unidimensional em chapa com superfícies a concentração constante; usaremos a solução em série para a concentração média.

Passo 2

Definimos a semicefala (half-thickness) da chapa
L = \frac{4,8\,\mathrm{mm}}{2} = 2,4\,\mathrm{mm} = 2,4\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Introduzimos a concentração média adimensional
\Theta(t) = \frac{C_{\mathrm{média}}(t)-C_i}{C_s - C_i}.é
Para C_{\mathrm{média}}=0,4\,\mathrm{kg/kg}é obtemos
\Theta^* = \frac{0,4 - 0,012}{0,533 - 0,012} = \frac{0,388}{0,521} \approx 0,744.

Passo 4

A solução em série para \Theta(t) na chapa é
\Theta(t) =1 - \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} \exp\!\Bigl(-\frac{(2n+1)^2\pi^2\,D\,t}{4\,L^2}\Bigr).
Como \Theta^*\approx0,744 e estamos em estágio avançado, retenho apenas o termo n=0:
\Theta(t)\approx 1 - \frac{8}{\pi^2} \exp\!\Bigl(-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\Bigr).

Passo 5

Igualando a essa aproximação:
0,744 =1 - \frac{8}{\pi^2} \exp\!\Bigl(-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\Bigr) \;\Longrightarrow\; \exp\!\Bigl(-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\Bigr) =\bigl(1-0,744\bigr)\frac{\pi^2}{8}.
Tomando logaritmo natural e isolando t:
t =-\frac{4L^2}{\pi^2 D} \ln\!\Bigl[\bigl(1-0,744\bigr)\frac{\pi^2}{8}\Bigr].

Passo 6

Substituindo numérico:
L^2=(2,4\times10^{-3})^2=5,76\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2, \quad \frac{4L^2}{\pi^2 D} =\frac{4\times5,76\times10^{-6}}{9,8696\times8,78\times10^{-11}} \approx2,66\times10^{4}\,\mathrm{s},
(1-0,744)\frac{\pi^2}{8} =0,256\times\frac{9,8696}{8} \approx0,316, \quad \ln(0,316)\approx-1,152.
Logo
t\approx2,66\times10^{4}\times1,152 \approx3,06\times10^{4}\,\mathrm{s} \approx8{,}5\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 8{,}5 horas.

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