Os salários mensais dos empregados de uma determinada fábrica têm uma média de 3500 reais com um desvio padrão de 200 reais. No próximo mês, todos os empregados receberão um bônus de produtividade de 150 reais. Quais serão os valores da média e da variância para os salários do próximo mês?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os salários mensais de empregados numa fábrica que, atualmente, têm uma média de 3500 reais e um desvio padrão de 200 reais. No próximo mês, todo mundo vai ganhar um bônus de produtividade de 150 reais. A pergunta é: Como isso vai afetar a média e a variância dos salários?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre como a adição de uma constante a todas as observações de um conjunto de dados afeta a média e a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a média. Quando você adiciona uma constante a todos os valores de um conjunto de dados, a média também aumenta exatamente esse valor constante. Matemáticamente, se a média original é $ \mu $ e você adiciona $ c $ a cada valor, a nova média $ \mu’ $ será:
mu
No nosso caso, a média original $ \mu $ é 3500 reais e o bônus $ c $ é 150 reais. Então:
c
Agora, sobre a variância. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Quando você adiciona uma constante a todos os valores, a dispersão dos dados em relação à média não muda, ou seja, a variância permanece a mesma. Matemáticamente, se a variância original é $ \sigma^2 $, a nova variância $ \sigma’^2 $ será:
mu'
Sabemos que o desvio padrão original $ \sigma $ é 200 reais, então a variância original $ \sigma^2 $ é:
mu' = mu + c
Portanto, a nova variância $ \sigma’^2 $ também será 40000 reais².

Resposta

No próximo mês, a média dos salários será de 3650 reais e a variância continuará sendo 40000 reais².

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