As vendas de uma empresa (em milhões de reais) para cada ano são mostradas na tabela a seguir.
Encontre a linha de regressão de mínimos quadrados y=alpha x+beta.
|c|c|c|c|c|c| hline hline$x$ (ano) & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 hline (vendas) & 12 & 19 & 29 & 37 & 45 hline (ano) 2005 2006 2007 2008 2009
(vendas) 12 19 29 37 45

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que mostra as vendas de uma empresa de 2005 a 2009 em milhões de reais. A gente precisa encontrar a linha de regressão dos mínimos quadrados, que é uma maneira de traçar uma linha que melhor representa a relação entre o ano e as vendas. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas somas e usar fórmulas de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linha de regressão dos mínimos quadrados. Ela tem a forma , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (intercepto). Esses coeficientes são calculados usando fórmulas que envolvem as somas dos valores de , , e .

Passo 3

Vamos organizar os dados e calcular as somas necessárias:
|c|c|c|c|c| hline x (ano) & y (vendas) & x^2 & xy hline 2005 & 12 & 2005^2 = 4,020,025 & 2005 times 12 = 24,060 2006 & 19 & 2006^2 = 4,024,036 & 2006 times 19 = 38,114 2007 & 29 & 2007^2 = 4,028,049 & 2007 times 29 = 58,203 2008 & 37 & 2008^2 = 4,032,064 & 2008 times 37 = 74,296 2009 & 45 & 2009^2 = 4,036,081 & 2009 times 45 = 90,405 hline
Agora, vamos somar cada coluna:
sum x = 2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 = 10,035
sum y = 12 + 19 + 29 + 37 + 45 = 142
sum x^2 = 4,020,025 + 4,024,036 + 4,028,049 + 4,032,064 + 4,036,081 = 20,160,255
sum xy = 24,060 + 38,114 + 58,203 + 74,296 + 90,405 = 284,078

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas para calcular alpha = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2 e beta = sum y - alpha sum xn :
alpha = 5 times 284,078 - 10,035 times 1425 times 20,160,255 - (10,035)^2
alpha = 1,420,390 - 1,424,970100,801,275 - 100,700,225
Onde alpha = -4,580101,050 approx -0,045 (número de anos).
Calculando beta = 142 - (-0,045) times 10,0355 :
beta = 142 + 451,5755 = 593,5755 approx 118,715
Calculando :

Resposta

A linha de regressão dos mínimos quadrados é aproximadamente .

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