Quais são as condições de existência (restrições) para as variáveis a e b na equação a^3+b+2 x=5 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
a^3 + b + 2x = 5
e pergunta quais são as restrições sobre a e b para que exista solução em x. Vamos ver primeiro em domínios gerais (reais) e depois no caso inteiro.

Passo 2

Isolando x, subtraímos a^3+b de ambos os lados e dividimos por 2, obtendo
x = \frac{5 - a^3 - b}{2}.

Passo 3

Em \mathbb{R} não há nenhuma restrição extra, pois dividir por 2 é sempre válido e não surgem raízes ou logaritmos que imponham domínio. Logo, para a,b\in\mathbb{R} qualquer par (a,b) gera um x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Se quisermos solução em \mathbb{Z}, o numerador
5 - a^3 - b
deve ser par (para que a divisão por 2 dê um inteiro). Como a^3 tem a mesma paridade de a, isso equivale a
a + b \equiv 1 \pmod{2},
isto é, a e b devem ter paridades opostas.

Resposta

Para a,b\in\mathbb{R} não há restrição.
Para a,b\in\mathbb{Z} é necessário que a+b\equiv1\pmod{2}.

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