Verificar se (Z,-) é um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se (Z,-) é um grupo. Lembra que um grupo é um conjunto G com uma operação binária star que satisfaz quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Vamos checar cada um deles para a subtração em Z.

Passo 2

Fechamento: precisamos ver se para quaisquer a,binZ o resultado de a - b permanece em Z. Como a diferença de dois inteiros é sempre um inteiro, concluímos que a operação é fechada em Z.

Passo 3

Associatividade: devemos conferir se
(a - b) - c = a - (b - c)
para todos a,b,cinZ. Tomando o contraexemplo a=3, b=2, c=1, temos
(3 - 2) - 1 = 1 - 1 = 0,
3 - (2 - 1) = 3 - 1 = 2,
logo (a - b) - c neq a - (b - c). A subtração não é associativa em Z.

Passo 4

Elemento neutro: se existisse einZ tal que
a - e = a e e - a = a
para todo ainZ, da primeira condição obteríamos e=0, mas da segunda viria
0 - a = a ;Rightarrow; -a = a ;Rightarrow; 2a = 0
que só vale para a=0. Portanto não há um elemento neutro comum a todos os a.

Passo 5

Como a operação de subtração em Z falha na associatividade e não possui elemento neutro, não faz sentido sequer falar em inversos. Já está claro que não é grupo.

Resposta

(Z,-) não é um grupo, pois a subtração não é associativa e não existe elemento neutro em Z.

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