Verificar se
é um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um grupo. Lembra que um grupo é um conjunto
com uma operação binária
que satisfaz quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Vamos checar cada um deles para a subtração em
.
Passo 2
Fechamento: precisamos ver se para quaisquer
o resultado de
permanece em
. Como a diferença de dois inteiros é sempre um inteiro, concluímos que a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade: devemos conferir se
para todos
. Tomando o contraexemplo
,
,
, temos
logo
. A subtração não é associativa em
.
Passo 4
Elemento neutro: se existisse
tal que
para todo
, da primeira condição obteríamos
, mas da segunda viria
que só vale para
. Portanto não há um elemento neutro comum a todos os
.
Passo 5
Como a operação de subtração em
falha na associatividade e não possui elemento neutro, não faz sentido sequer falar em inversos. Já está claro que não é grupo.