Usando a substituição w=z^2-z, encontre as quatro soluções de z^4-2 z^3+z-20=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação z^4 - 2 z^3 + z - 20 = 0 usando a substituição w = z^2 - z . Isso está ligado ao conteúdo de polinômios e substituições algébricas. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar a substituição para simplificar e encontrar as soluções de z .

Passo 2

Primeiro, observamos a equação original:
z^4 - 2 z^3 + z - 20 = 0
Queremos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
w = z^2 - z
Nosso objetivo é expressar a equação original em termos de w .

Passo 3

Vamos tentar reescrever z^4 em termos de w . Sabemos que:
z^2 = w + z
Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
z^4 = (w + z)^2 = w^2 + 2 w z + z^2
Mas z^2 = w + z , então:
z^4 = w^2 + 2 w z + w + z

Passo 4

Agora, substituímos z^4 na equação original:
w^2 + 2 w z + w + z - 2 z^3 + z - 20 = 0
Simplificando os termos:
w^2 + 2 w z + w + 2 z - 2 z^3 - 20 = 0

Passo 5

Precisamos expressar z^3 em termos de w . Sabemos que:
z^3 = z cdot z^2 = z (w + z) = w z + z^2
E novamente, z^2 = w + z , então:
z^3 = w z + w + z

Passo 6

Substituímos z^3 na equação:
w^2 + 2 w z + w + 2 z - 2 (w z + w + z) - 20 = 0
Distribuindo o -2:
w^2 + 2 w z + w + 2 z - 2 w z - 2 w - 2 z - 20 = 0
Simplificando:
w^2 - w - 20 = 0

Passo 7

Agora temos uma equação quadrática em w :
w^2 - w - 20 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
w = 1 pm raiz1 + 802 = 1 pm raiz812 = 1 pm 92
Então, as soluções para w são:
w = 5 e w = -4

Passo 8

Agora, voltamos à substituição w = z^2 - z e resolvemos para cada valor de w :
Para w = 5 :
z^2 - z = 5
z^2 - z - 5 = 0
Aplicando Bhaskara:
z = 1 pm raiz1 + 202 = 1 pm raiz212
Para w = -4 :
z^2 - z = -4
z^2 - z + 4 = 0
Aplicando Bhaskara:
z = 1 pm raiz1 - 162 = 1 pm raiz-152 = 1 pm iraiz152

Resposta

As quatro soluções da equação z^4 - 2 z^3 + z - 20 = 0 são:
z = 1 + raiz212, z = 1 - raiz212, z = 1 + iraiz152, e z = 1 - iraiz152

Exercícios relacionados