Sejam B=(1,0,2),(0,2,1),(0,0,1) e C=(1,1,1),(0,2,1),(1,0,0) bases de R^3. Determine as matriz de mudança da base C para a base B e da base B para a base C.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
B = b1=(1,0,2),;b2=(0,2,1),;b3=(0,0,1), C = c1=(1,1,1),;c2=(0,2,1),;c3=(1,0,0)
Queremos a matriz de mudança de base de C para B, isto é, o operador que pega coordenadas em C e devolve coordenadas em B, e a de B para C. Para isso, expressamos cada vetor da base de chegada em coordenadas da base de partida.

Passo 2

Para montar PCto B, escrevemos cada cj como combinação linear de b1,b2,b3:
a1jb1 + a2jb2 + a3jb3 = cj
As colunas de PCto B são os vetores (a1j,a2j,a3j)^T.

Passo 3

Expressões:
  1. Para
  2. Para :

Passo 4

Logo
PCto B = 1 & 0 & 1 tfrac12 & 1 & 0 -tfrac32 & 0 & -2

Passo 5

Para montar PBto C, expressamos cada bi em coordenadas de C:
bi = d1i,c1 + d2i,c2 + d3i,c3,
e as colunas de PBto C são (d1i,d2i,d3i)^T.

Passo 6

Cálculo das coordenadas:
  1. :

Passo 7

Então
PBto C = 4 & 0 & 2 -2 & 1 & -1 -3 & 0 & -2

Resposta

PCto B = 1 & 0 & 1 tfrac12 & 1 & 0 -tfrac32 & 0 & -2 , PBto C = 4 & 0 & 2 -2 & 1 & -1 -3 & 0 & -2

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