1. partial^2 zpartial y^2=k^2 partial^2 zpartial x^2, z=z(x, y)
  2. [d^2 yd x^2]^3-5 d yd x=0, y=y(x)
  3. d^2 sd t^2+s cdot t d sd t=0, s=s(t)
  4. (y^prime prime)^2-3 y(y^prime)^5+x y=0, y=y(x)
  5. y^prime prime prime-3(y^prime)^2+x=0, y=y(x)
  6. 3 s^prime+s^2=0, s=s(t)
  7. São dadas as equações diferenciais d xd y=x, y^prime prime+(y^prime)^3+y=0 e (y^prime prime)^3+(y^prime)^5=x.
    Considerando as equações na seqüência apresentada, classifique as setenças abaixo em (V), se verdadeira, ou em (F) se falsa:
    a) A primeira é de grau zero.
    b) A segunda é de grau 3.
    c) A segunda é de ordem 3 .
    d) A terceira é de ordem 2 .
    e) A terceira é de grau 5 .
    f) A primeira e a segunda são de grau 1.
    g) A segunda é de ordem 3 e grau 2 .
    h) A segunda a terceira tem ordem diferente.
    i) A terceira é de ordem 2 e grau 5.
    j) A terceira é de ordem 5 e grau 2.
    k) A primeira e a segunda têm mesma ordem e graus diferentes.
    l) A segunda e a terceira têm mesmo grau e ordens diferentes.
    m) A primeira e a segunda têm mesmo grau e ordens diferentes.
    n) A segunda e a terceira têm mesmo grau.
    o) A primeira e a segunda têm mesma ordem.

Passo 1

Temos três equações diferenciais dadas em sequência:
1. dxdy=x 2. y''+(y')^3+y=0 3. (y'')^3+(y')^5=x
Aqui queremos determinar, para cada uma, a ordem (maior derivada que aparece) e o grau (expoente daquela derivada na forma polinomial).

Passo 2

Analisando a primeira equação
dxdy=x:
  • A maior derivada é dxdy, de ordem 1.
  • Ela aparece com potência 1 e não há frações nem radicais, logo o grau é 1.

Passo 3

Analisando a segunda equação
y''+(y')^3+y=0:
  • A maior derivada é y'', de ordem 2.
  • Aparece elevada à primeira potência e não há outros termos que elevem y'', logo o grau é 1.

Passo 4

Analisando a terceira equação
(y'')^3+(y')^5=x:
  • A maior derivada é y'', de ordem 2.
  • Ela aparece elevada ao cubo, então o grau é 3.

Passo 5

Agora classificamos cada sentença (V/F) usando
ordem( cdot) e grau( cdot) para as três equações:
a) A primeira é de grau zero.
grau l(dxdy=xr)=1 Rightarrow F
b) A segunda é de grau 3.
grau l(y''+(y')^3+y=0r)=1 Rightarrow F
c) A segunda é de ordem 3.
ordem l(y''+(y')^3+y=0r)=2 Rightarrow F
d) A terceira é de ordem 2.
ordem l((y'')^3+(y')^5=xr)=2 Rightarrow V
e) A terceira é de grau 5.
grau l((y'')^3+(y')^5=xr)=3 Rightarrow F
f) A primeira e a segunda são de grau 1.
grau( 1ª) =1, grau( 2ª) =1Rightarrow V
g) A segunda é de ordem 3 e grau 2.
ordem =2, grau =1Rightarrow F
h) A segunda e a terceira têm ordem diferente.
ordem( 2ª) =2, ordem( 3ª) =2Rightarrow F
i) A terceira é de ordem 2 e grau 5.
ordem =2, grau =3Rightarrow F
j) A terceira é de ordem 5 e grau 2.
ordem =2, grau =3Rightarrow F
k) A primeira e a segunda têm mesma ordem e graus diferentes.
ordem( 1ª) =1, ordem( 2ª) =2Rightarrow F
l) A segunda e a terceira têm mesmo grau e ordens diferentes.
grau( 2ª) =1, grau( 3ª) =3Rightarrow F
m) A primeira e a segunda têm mesmo grau e ordens diferentes.
grau( 1ª) =1, grau( 2ª) =1 e ordem( 1ª) =1, ordem( 2ª) =2Rightarrow V
n) A segunda e a terceira têm mesmo grau.
grau( 2ª) =1, grau( 3ª) =3Rightarrow F
o) A primeira e a segunda têm mesma ordem.
ordem( 1ª) =1, ordem( 2ª) =2Rightarrow F

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
h) F
i) F
j) F
k) F
l) F
m) V
n) F
o) F

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