São dadas as equações diferenciais d xd y=x, y^prime prime+(y^prime)^3+y=0 e (y^prime prime)^3+(y^prime)^5=x.
Considerando as equações na seqüência apresentada, classifique a sentença abaixo em (V), se verdadeira, ou em (F) se falsa:
A segunda é de grau 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três equações diferenciais e pede para a gente analisar uma afirmação sobre a segunda delas. O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais e, mais especificamente, sobre grau das equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o grau de uma equação diferencial e aplicar isso na segunda equação que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o grau de uma equação diferencial. O grau de uma equação diferencial é o expoente mais alto que aparece na derivada de maior ordem, depois de termos rearranjado a equação para que ela seja um polinômio nas derivadas. Isso significa que precisamos deixar a equação naquela forma mais simples possível para identificar o grau corretamente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda equação que foi dada:
y'' + (y')^3 + y = 0
Aqui, $ y’’ $ representa a segunda derivada de $ y $ em relação a alguma variável, e $ y’ $ é a primeira derivada.

Passo 4

Nosso objetivo é identificar o grau dessa equação. Primeiro, devemos garantir que a equação está na forma polinomial em relação às derivadas. Olhando para a equação:
y'' + (y')^3 + y = 0
Ela já está organizada como um polinômio nas derivadas, porque cada termo é uma derivada elevada a alguma potência, e não há frações ou raízes com as derivadas.

Passo 5

Agora, identificamos qual é a derivada de maior ordem na equação. Aqui, temos $ y’’ $ que é a segunda derivada, e $ y’ $ que é a primeira derivada. Portanto, a derivada de maior ordem é $ y’’ $.

Passo 6

Chegando ao grau, precisamos ver o expoente da derivada de maior ordem. Na equação $ y’’ + \left(y’\right)^3 + y = 0 $, a derivada de maior ordem $ y’’ $ está elevada ao primeiro grau (porque é $ y’’ $ e não $ (y’’)^n $ com $ n > 1 $).

Passo 7

Como o grau é determinado pela maior potência da derivada de maior ordem, e $ y’’ $ está ao primeiro grau, concluímos que o grau dessa segunda equação é 1.

Resposta

(F)

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