Verificar se os pontos \mathrm{P}(4,2,0) e \mathrm{Q}(1,0,-1) pertencem à reta r: \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos \mathrm{P}(4,2,0) e \mathrm{Q}(1,0,-1) pertencem à reta
\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}.
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos transformar a forma simétrica num sistema paramétrico e ver se cada ponto ajusta a esse sistema.

Passo 2

Definimos o parâmetro t pela igualdade
\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}=t.
Com isso, o sistema paramétrico da reta fica
x = 1 + 3t,\quad y = 2t,\quad z = -1 + t.

Passo 3

Para \mathrm{P}(4,2,0), usamos a primeira equação para achar t:
1 + 3t = 4 \implies t = 1.
Substituindo t=1 nas outras duas:
y = 2\cdot1 = 2,\quad z = -1 + 1 = 0,
que coincidem com as coordenadas de \mathrm{P}. Logo, \mathrm{P} pertence à reta.

Passo 4

Para \mathrm{Q}(1,0,-1), fazemos igual:
1 + 3t = 1 \implies t = 0.
Substituindo t=0:
y = 2\cdot0 = 0,\quad z = -1 + 0 = -1,
que batem com \mathrm{Q}. Portanto, \mathrm{Q} também pertence à reta.

Resposta

Os dois pontos pertencem à reta r.

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