São dadas as funções reais
e
.
Escreva uma fórmula simplificada e/ou racionalizada, quando possível, para as funções
e
, e determine seus respectivos domínios.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções reais
e
, e pede para calcular as combinações
,
e
, escrevendo fórmulas simplificadas ou racionalizadas quando possível e determinando seus domínios. O conteúdo envolve operações com funções (soma, produto e quociente), manipulação de radicais e análise de domínio.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de cada função. Para
exigimos
, ou seja
. Logo . Para
exigimos
, então
ou
. Logo .
Passo 3
Para
fazemos a soma das expressões:
O domínio dessa soma é a interseção .
Passo 4
Para o produto
temos
Podemos combinar as raízes:
O domínio é novamente
Passo 5
Para o quociente
inicial:
Racionalizando o denominador pelo conjugado
No denominador surge
Para o domínio, além de , excluímos os pontos que anulam o denominador original ou racionalizado:
Resposta
As fórmulas simplificadas e seus domínios são:
(2f+g)(x)=2\sqrt{2x+11}-4+\sqrt{x^2-9},
Dom\bigl(2f+g\bigr)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
Dom\bigl(2f+g\bigr)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
(fg)(x)=-4\sqrt{2x+11}+\sqrt{(2x+11)(x^2-9)},
Dom(fg)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
Dom(fg)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{2x+11},(4+\sqrt{x2-9})}{x2-25},
Dom\bigl(f/g\bigr)=\bigl([- frac{11}2,-3]\cup[3,\infty)\bigr)\setminus{-5,5}.
Dom\bigl(f/g\bigr)=\bigl([- frac{11}2,-3]\cup[3,\infty)\bigr)\setminus{-5,5}.