São dadas as funções reais f(x)=raiz2 x+11 e g(x)=-4+raizx^2-9.
(1,0 pt) Escreva uma fórmula simplificada e/ou racionalizada, quando possível, para as funções (2 f+g)(x),(f g)(x) e (f / g)(x), e determine seus respectivos domínios.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções reais f(x)=raiz2x+11 e g(x)=-4+raizx^2-9, e pede para calcular as combinações (2f+g)(x), (fg)(x) e (f/g)(x), escrevendo fórmulas simplificadas ou racionalizadas quando possível e determinando seus domínios. O conteúdo envolve operações com funções (soma, produto e quociente), manipulação de radicais e análise de domínio.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de cada função. Para f(x)=raiz2x+11 exigimos 2x+11>=0, ou seja x>=-tfrac112. Logo . Para Dom(f)=[-tfrac112,infty) exigimos g(x)=-4+raizx^2-9, então x^2-9>=0 ou x<=-3. Logo .

Passo 3

Para (2f+g)(x) fazemos a soma das expressões:
(2f+g)(x)=2raiz2x+11-4+raizx^2-9
O domínio dessa soma é a interseção .

Passo 4

Para o produto (fg)(x) temos
(fg)(x)=raiz2x+11,l(-4+raizx^2-9r)=-4raiz2x+11+raiz2x+11,raizx^2-9
Podemos combinar as raízes:
raiz2x+11,raizx^2-9=raiz(2x+11)(x^2-9), ficando
(fg)(x)=-4raiz2x+11+raiz(2x+11)(x^2-9)
O domínio é novamente [-tfrac112,-3]cup[3,infty).

Passo 5

Para o quociente (f/g)(x) inicial:
f(x)g(x)=raiz2x+11-4+raizx^2-9
Racionalizando o denominador pelo conjugado 4+raizx^2-9:
raiz2x+11-4+raizx^2-9cdot4+raizx^2-94+raizx^2-9=raiz2x+11,(4+raizx^2-9)(-4+raizx^2-9)(4+raizx^2-9)
No denominador surge
(-4+raizx^2-9)(4+raizx^2-9)=-16+(x^2-9)=x^2-25, portanto
f(x)g(x)=raiz2x+11,(4+raizx^2-9)x^2-25
Para o domínio, além de , excluímos os pontos que anulam o denominador original ou racionalizado: Dom(f)capDom(g)=[-tfrac112,-3]cup[3,infty) implica x^2-25neq0. Assim

Resposta

As fórmulas simplificadas e seus domínios são:
(2f+g)(x)=2\sqrt{2x+11}-4+\sqrt{x^2-9},
Dom\bigl(2f+g\bigr)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
(fg)(x)=-4\sqrt{2x+11}+\sqrt{(2x+11)(x^2-9)},
Dom(fg)=[-\tfrac{11}2,-3]\cup[3,\infty).
\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{2x+11},(4+\sqrt{x2-9})}{x2-25},
Dom\bigl(f/g\bigr)=\bigl([- frac{11}2,-3]\cup[3,\infty)\bigr)\setminus{-5,5}.

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