São dados: k=0,025 \mathrm{~mm}, \operatorname{Re}=3 \times 10^{7} e D=0,2 \mathrm{~m}. Calcular f com a fórmula de Nikuradse (turbulência plena) e compará-la com f obtido com o uso do diagrama de Moody.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está abaixo (tomei exatamente estes números do enunciado):
  • Rugosidade absoluta: k=0{,}025\\ \mathrm{mm}.
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=3\times10^{7}.
  • Diâmetro da tubulação: D=0{,}2\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
  1. Calcular o fator de atrito \,f usando a fórmula de Nikuradse para turbulência plena.
  2. Comparar esse valor de \,f com o valor obtido a partir do diagrama de Moody (ou, equivalentemente, da equação implícita de Colebrook, que é a versão numérica usada para leitura precisa do Moody).

Passo 2

Entendendo os conceitos e a fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • O fator de atrito \,f aqui é o fator de Darcy–Weisbach, que aparece na perda de carga por atrito: h_f = f\,(L/D)\,(V^2/(2g)). Não precisamos do V nem do h_f para achar f, só é bom saber o que \,f representa.
  • A razão entre rugosidade e diâmetro é a rugosidade relativa: \displaystyle \frac{k}{D}. No regime de turbulência plena (também chamado de regime totalmente rugoso), o termo viscoso associado a \mathrm{Re} é desprezível e o fator de atrito depende essencialmente só de \dfrac{k}{D}.
  • A fórmula empírica de Nikuradse para turbulência plena (limite de fluxo totalmente rugoso) pode ser escrita convenientemente como
\frac{1}{\sqrt{f}} = 1{,}14 - 2\log_{10}\!\left(\frac{k}{D}\right).
  • Essa expressão é equivalente ao limite totalmente rugoso da equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D}\right),
porque -2\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D}\right) = 1{,}14 - 2\log_{10}\!\left(\frac{k}{D}\right) (pois 2\log_{10}(3{,}7)\approx1{,}14).
  • O diagrama de Moody (ou a equação de Colebrook completa) inclui a dependência com \mathrm{Re}. A equação de Colebrook é
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\right).
No regime totalmente rugoso o segundo termo dentro do log é desprezível; para Re muito grandes a solução de Colebrook aproxima-se da fórmula de Nikuradse.

Passo 3

Converter unidades e calcular a rugosidade relativa:
  • Converter k para metros:
k = 0{,}025\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \dfrac{k}{D}:
\frac{k}{D} = \frac{2{,}5\times10^{-5}}{0{,}2} = 1{,}25\times10^{-4}.

Passo 4

Calcular f pela fórmula de Nikuradse (turbulência plena). Usando
\frac{1}{\sqrt{f}} = 1{,}14 - 2\log_{10}\!\left(\frac{k}{D}\right),
primeiro calculemos o logaritmo:
\log_{10}\!\left(\frac{k}{D}\right) = \log_{10}(1{,}25\times10^{-4}) = \log_{10}(1{,}25) + \log_{10}(10^{-4}) = 0{,}09691 - 4 = -3{,}90309.
Agora
\frac{1}{\sqrt{f}} = 1{,}14 - 2(-3{,}90309) = 1{,}14 + 7{,}80618 = 8{,}94618.
Portanto
\sqrt{f} = \frac{1}{8{,}94618} = 0{,}11180\quad\Rightarrow\quad f = (0{,}11180)^2 = 0{,}01250.
Arredondando com 4 algarismos significativos: \displaystyle f_{\text{Nikuradse}} \approx 0{,}01250.

Passo 5

Estimativa pelo diagrama de Moody / equação de Colebrook e comparação.
  • Para verificar se o termo viscoso de Colebrook é realmente pequeno (e portanto se o regime é bem aproximado por Nikuradse), calculemos as duas parcelas dentro do log de Colebrook usando f aproximado acima:
\frac{k}{3{,}7D} = \frac{1{,}25\times10^{-4}}{3{,}7} = 3{,}378\times10^{-5}.
Usando \sqrt{f}\approx0{,}11180,
\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}} = \frac{2{,}51}{(3\times10^{7})\cdot 0{,}11180} \approx 7{,}47\times10^{-7}.
Esse segundo termo é cerca de 0{,}022 vezes o primeiro (ou seja \sim2{,}2\% do primeiro termo), portanto é muito pequeno — o fluxo está muito próximo do limite totalmente rugoso.
  • Para obter um valor de referência equivalente ao que o Moody dá (solução da equação de Colebrook), podemos iterar a equação de Colebrook. Começando com \sqrt{f}_0=0{,}11180 e aplicando:
\frac{1}{\sqrt{f_{1}}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{k}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f_0}}\right)
já nos leva a um valor praticamente convergido. Fazendo isso num passo (os números já foram parcialmente calculados acima) obtemos
\frac{1}{\sqrt{f}} \approx 8{,}9234 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{f}\approx0{,}11203 \quad\Rightarrow\quad f\approx0{,}01254.
A diferença entre o valor de Nikuradse ( 0{,}01250) e a solução da Colebrook / leitura do Moody ( 0{,}01254) é muito pequena: diferença absoluta \approx 4\times10^{-5}, ou cerca de 0{,}32\% em termos relativos. Isso mostra que, para \mathrm{Re}=3\times10^7 e \dfrac{k}{D}=1{,}25\times10^{-4}, o uso da fórmula de Nikuradse (turbulência plena) é perfeitamente adequado e coincide com o diagrama de Moody dentro de uma margem desprezível.

Resposta

f_{\text{Nikuradse}} \approx 0{,}01250
f_{\text{Moody (Colebrook)}} \approx 0{,}01254

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