São dados os pontos A=(3,6,-7), B=(-5,2,3) e C=(4,-7,-6).
a) Escreva equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C e obtenha sua forma simétrica (se exixtir). O ponto D= (3,1,4) pertence a essa reta?
b) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo.

Passo 1

A ideia é achar a reta que passa por B e C e depois verificar se D está nela. Em seguida vamos checar se A, B e C são colineares (ou seja, se formam um segmento de reta) ou não. Se não forem colineares, eles formam um triângulo.

Passo 2

O vetor diretor da reta BC é C–B. Calculamos
C - B = (4 - (-5),,-7 - 2,,-6 - 3) = (9,,-9,,-9)
A equação vetorial da reta fica
r(t) = (-5,2,3) + t,(9,-9,-9),
e as paramétricas são
x = -5 + 9t, y = 2 - 9t, z = 3 - 9t
Como nenhum coeficiente é zero, a forma simétrica é
x + 59 = y - 2-9 = z - 3-9

Passo 3

Para ver se D=(3,1,4) pertence, igualamos a cada coordenada:
-5 + 9t = 3Rightarrow t = 89,
2 - 9t = 1Rightarrow t = 19
Como esses valores de t não coincidem, não existe t que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Logo, D não pertence à reta.

Passo 4

Para verificar se A, B e C são colineares, formamos os vetores AB e AC:
AB = B - A = (-8,-4,10), AC = C - A = (1,-13,1)
Se fossem colineares, haveria k tal que AB = k·AC. Mas
-81 = -8, -4-13 = 413, 101 = 10,
e esses quocientes não batem. Portanto AB não é múltiplo de AC, logo A, B e C não são colineares e formam um triângulo.

Resposta

Equação vetorial: r(t) = (-5,2,3) + t(9,-9,-9). Equações paramétricas: x = -5 + 9t, y = 2 - 9t, z = 3 - 9t. Forma simétrica: x+59 = y-2-9 = z-3-9. O ponto D não pertence a essa reta. Como A, B e C não são colineares, eles são vértices de um triângulo.

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