São dados os pontos
e
.
a) Escreva equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos
e
e obtenha sua forma simétrica (se exixtir). O ponto
pertence a essa reta?
b) Verifique que os pontos
e
são vértices de um triângulo.
a) Escreva equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos
b) Verifique que os pontos
Passo 1
A ideia é achar a reta que passa por B e C e depois verificar se D está nela. Em seguida vamos checar se A, B e C são colineares (ou seja, se formam um segmento de reta) ou não. Se não forem colineares, eles formam um triângulo.
Passo 2
O vetor diretor da reta BC é C–B. Calculamos
A equação vetorial da reta fica
e as paramétricas são
Como nenhum coeficiente é zero, a forma simétrica é
Passo 3
Para ver se D=(3,1,4) pertence, igualamos a cada coordenada:
Como esses valores de t não coincidem, não existe t que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Logo, D não pertence à reta.
Passo 4
Para verificar se A, B e C são colineares, formamos os vetores AB e AC:
Se fossem colineares, haveria k tal que AB = k·AC. Mas
e esses quocientes não batem. Portanto AB não é múltiplo de AC, logo A, B e C não são colineares e formam um triângulo.
Resposta
Equação vetorial:
. Equações paramétricas:
. Forma simétrica:
. O ponto D não pertence a essa reta. Como A, B e C não são colineares, eles são vértices de um triângulo.