São dados os seguintes números, num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos:
x=0.6423 \times 10^{4}, \quad y=0.2324 \times 10^{-3}, \quad z=0.1234 \times 10^{1}
Realizar as operações e calcular o erro considerando arredondamento:
\frac{x \cdot y}{z}

Passo 1

O problema pede para calcular a expressão
\frac{x\cdot y}{z}
num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos, considerando arredondamento, e calcular o erro introduzido pelo arredondamento.
Os dados fornecidos são:
x=0,6423\times10^{4},\qquad y=0,2324\times10^{-3},\qquad z=0,1234\times10^{1}.
Vou usar esses valores como números já representáveis na máquina (mantissa com 4 dígitos) e aplicar arredondamento após cada operação aritmética (multiplicação e depois divisão), arredondando para 4 dígitos na mantissa.

Passo 2

Explicando o formato e a regra de arredondamento (para ficar claro como proceder): números de ponto flutuante têm forma
\pm 0.d_1d_2d_3d_4\times10^{e},
onde d_1\neq0 (normalizado) e existem exatamente 4 dígitos na mantissa. Ao arredondar uma mantissa maior para 4 dígitos, usamos arredondamento para o vizinho mais próximo (se o dígito seguinte for \ge5 arredonda para cima, caso contrário para baixo).

Passo 3

Calcular x\cdot y exatamente (antes de arredondar): multiplicamos mantissas e somamos expoentes.
As mantissas são 0,6423 e 0,2324; os expoentes são 10^{4} e 10^{-3}. Então
x\cdot y = (0,6423\cdot0,2324)\times10^{4-3}.
Calculemos 0,6423\cdot0,2324. Uma forma segura é multiplicar inteiros correspondentes:
6423\cdot2324 = 14\,927\,052,
e como cada fator tinha 4 casas decimais, o produto tem 8 casas decimais:
0,6423\cdot0,2324 = 0,14927052.
Portanto
x\cdot y = 0,14927052\times10^{1} = 1,4927052.

Passo 4

Arredondar o produto para a representação com mantissa de 4 dígitos: escrevemos o produto como
0,14927052\times10^{1}.
Os primeiros 4 dígitos da mantissa são 1,4,9,2 (ou seja 0,1492) e o quinto dígito é 7, que é \ge5, então arredondamos 0,1492 para 0,1493. Assim o valor armazenado após a multiplicação é
\operatorname{fl}(x\cdot y)=0,1493\times10^{1}=1,493.

Passo 5

Agora dividimos pelo z. Usamos o valor arredondado do numerador e o z tal como dado (já representável):
\frac{\operatorname{fl}(x\cdot y)}{z}=\frac{0,1493\times10^{1}}{0,1234\times10^{1}}=\frac{0,1493}{0,1234}\times10^{0}.
Portanto precisamos calcular a razão
\frac{0,1493}{0,1234}=\frac{1493}{1234}.
Fazendo a divisão, a expansão decimal (algumas casas) é
\frac{1493}{1234}=1,209886547808\ldots
(mostrei várias casas para podermos arredondar corretamente na próxima etapa).

Passo 6

Normalizar e arredondar o resultado da divisão para mantissa de 4 dígitos. A forma normalizada é
1,209886547808\ldots = 0,1209886547808\ldots\times10^{1}.
Os primeiros 4 dígitos da mantissa são 1,2,0,9 (ou seja 0,1209), e o quinto dígito é 8 ( \ge5), logo arredondamos 0,1209 para 0,1210 (houve carry no último dígito). Assim o resultado final armazenado na máquina é
\operatorname{fl}\!\left(\frac{x\cdot y}{z}\right)=0,1210\times10^{1}=1,210.

Passo 7

Calcular o valor exato (matematicamente, sem arredondar intermediários) a fim de medir o erro: usando os valores exatos dados,
\frac{x\cdot y}{z}=\frac{0,6423\times10^{4}\cdot 0,2324\times10^{-3}}{0,1234\times10^{1}} =\frac{1,4927052}{1,234}.
Como fração temos
\frac{1,4927052}{1,234}=\frac{14\,927\,052}{12\,340\,000}=1,2096476499189\ldots
(algumas casas mostradas).

Passo 8

Calcular o erro causado pelo arredondamento:
  • Erro absoluto:
\left|\frac{x\cdot y}{z}-\operatorname{fl}\!\left(\frac{x\cdot y}{z}\right)\right| =|1,2096476499189\ldots - 1,210| \approx 0,0003523500811.
  • Erro relativo:
\frac{\text{erro absoluto}}{\left|\frac{x\cdot y}{z}\right|} \approx \frac{0,0003523500811}{1,2096476499189\ldots} \approx 2,9139\times10^{-4}\quad(\approx0,02914\%).

Resposta

\operatorname{fl}\!\big(\tfrac{x\cdot y}{z}\big)=0,1210\times10^{1}=1,210
Valor exato \approx 1,2096476499189
Erro absoluto \approx 0,0003523500811
Erro relativo \approx 2,9139\times10^{-4}

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