São dados os seguintes números, num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos:
x=0.6423 \times 10^{4}, \quad y=0.2324 \times 10^{-3}, \quad z=0.1234 \times 10^{1}
Realizar as operações e calcular o erro considerando arredondamento:
\frac{y}{z} \cdot x

Passo 1

O enunciado dá três números representados em um computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos:
x=0,6423\times10^{4},\qquad y=0,2324\times10^{-3},\qquad z=0,1234\times10^{1}.
A tarefa é calcular a expressão
\frac{y}{z}\cdot x
realizando as operações no modelo de ponto flutuante descrito (mantissa normalizada com 4 dígitos) e considerando arredondamento para cada resultado intermediário; em seguida calcular o erro entre o resultado obtido na máquina e o valor exato. Vou devolver o resultado final arredondado e o erro (absoluto e relativo).

Passo 2

Breve explicação do formato de ponto flutuante que estamos usando (essencial para a resolução): a máquina representa números na forma
m\times10^{e},
onde a mantissa m tem exatamente 4 dígitos significativos e é normalizada (o primeiro dígito é não nulo), por exemplo 1,234\times10^{2}. Ao realizar uma operação aritmética, o resultado exato é calculado e depois arredondado para a forma com 4 dígitos significativos (arredondamento para o inteiro mais próximo do dígito seguinte; em caso de empate normalmente arredonda-se para o par, mas aqui não teremos empate exato). Vou aplicar esse arredondamento após a divisão e depois após a multiplicação, que é o procedimento usual peça-a-peça na aritmética de ponto flutuante.

Passo 3

Calcular exatamente (com precisão algébrica) o quociente \dfrac{y}{z} antes de arredondar:
\frac{y}{z}=\frac{0,2324\times10^{-3}}{0,1234\times10^{1}} =\left(\frac{0,2324}{0,1234}\right)\times10^{-4}.
Como 0,2324=\dfrac{2324}{10000} e 0,1234=\dfrac{1234}{10000}, o fator racional simplifica para
\frac{0,2324}{0,1234}=\frac{2324}{1234}=\frac{1162}{617}\approx1,8833063209\ldots
Portanto o quociente exato é
\frac{y}{z} \approx 1,8833063209\times10^{-4}.

Passo 4

Arredondar \dfrac{y}{z} para a mantissa de 4 dígitos (mantissa normalizada): a mantissa atual é 1,883306\ldots. Mantendo 4 dígitos significativos, pegamos os quatro primeiros dígitos 1,8,8,3, isto é 1,883. O dígito seguinte é 3 (menor que 5), então arredondamos para baixo e obtemos
\mathrm{fl}\!\left(\frac{y}{z}\right)=1,883\times10^{-4}.
(Explicação curta do porquê: mantissa com 4 dígitos significa manter 1,883; como o quinto dígito é 3<5, não aumentamos o quarto dígito.)

Passo 5

Agora multiplicamos esse resultado arredondado por x. Primeiro alinhar expoentes: x=0,6423\times10^{4}. Então
\mathrm{fl}\!\left(\frac{y}{z}\right)\cdot x = \bigl(1,883\times10^{-4}\bigr)\cdot\bigl(0,6423\times10^{4}\bigr) = (1,883\cdot0,6423)\times10^{0}.
Calculemos o produto exato (antes de arredondar) dos mantissas:
1,883\cdot0,6423 = 1,2094509.

Passo 6

Arredondamento do produto para 4 dígitos significativos: a mantissa é 1,2094509\ldots. Os quatro primeiros dígitos são 1,2,0,9 1,209. O dígito seguinte é 4<5, logo não incrementamos. Assim o resultado final na máquina (após arredondamento) é
\mathrm{fl}\!\left(\frac{y}{z}\cdot x\right)=1,209\times10^{0}=1,209.

Passo 7

Calcular o valor exato da expressão (para comparar e obter o erro). Podemos manipular simbolicamente:
\frac{y}{z}\cdot x = \left(\frac{0,2324\times10^{-3}}{0,1234\times10^{1}}\right)\cdot(0,6423\times10^{4}) = \left(\frac{0,2324}{0,1234}\cdot0,6423\right)\times10^{0}.
Usando \dfrac{0,2324}{0,1234}=\dfrac{1162}{617} e 0,6423=\dfrac{6423}{10000}, obtemos o valor exato racional
\frac{y}{z}\cdot x = \frac{1162\cdot6423}{617\cdot10000}=\frac{7\,463\,526}{6\,170\,000}\approx1,2096476499\ldots
(na prática: 1,2096476499\ldots é o valor exato decimal infinito periódico não inteiro; a fração acima é exata).

Passo 8

Calcular o erro absoluto e relativo entre o resultado da máquina e o valor exato.
Erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \left|\,\mathrm{fl}\!\left(\frac{y}{z}\cdot x\right) - \text{valor exato}\,\right| = \left|1,209 - \frac{7\,463\,526}{6\,170\,000}\right| = \frac{3\,996}{6\,170\,000}.
Aproximação decimal:
\text{erro absoluto}\approx 0,0006476499\ldots
Erro relativo:
\text{erro relativo} = \frac{\text{erro absoluto}}{|\text{valor exato}|} = \frac{3\,996/6\,170\,000}{7\,463\,526/6\,170\,000} = \frac{3\,996}{7\,463\,526}\approx0,0005355\ldots

Resposta

\mathrm{fl}\!\left(\dfrac{y}{z}\cdot x\right)=1,209
\text{erro absoluto}=\dfrac{3\,996}{6\,170\,000}\approx0,0006476499
\text{erro relativo}\approx0,0005355

Exercícios relacionados