São dados os seguintes números, num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos:
Realizar as operações e calcular o erro considerando arredondamento:
Passo 1
O enunciado dá três números representados em um computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos:
A tarefa é calcular a expressão
realizando as operações no modelo de ponto flutuante descrito (mantissa normalizada com 4 dígitos) e considerando arredondamento para cada resultado intermediário; em seguida calcular o erro entre o resultado obtido na máquina e o valor exato. Vou devolver o resultado final arredondado e o erro (absoluto e relativo).
Passo 2
Breve explicação do formato de ponto flutuante que estamos usando (essencial para a resolução): a máquina representa números na forma
onde a mantissa
tem exatamente 4 dígitos significativos e é normalizada (o primeiro dígito é não nulo), por exemplo
. Ao realizar uma operação aritmética, o resultado exato é calculado e depois arredondado para a forma com 4 dígitos significativos (arredondamento para o inteiro mais próximo do dígito seguinte; em caso de empate normalmente arredonda-se para o par, mas aqui não teremos empate exato). Vou aplicar esse arredondamento após a divisão e depois após a multiplicação, que é o procedimento usual peça-a-peça na aritmética de ponto flutuante.
Passo 3
Calcular exatamente (com precisão algébrica) o quociente
antes de arredondar:
Como
e
, o fator racional simplifica para
Portanto o quociente exato é
Passo 4
Arredondar
para a mantissa de 4 dígitos (mantissa normalizada): a mantissa atual é
. Mantendo 4 dígitos significativos, pegamos os quatro primeiros dígitos
, isto é
. O dígito seguinte é
(menor que 5), então arredondamos para baixo e obtemos
(Explicação curta do porquê: mantissa com 4 dígitos significa manter
; como o quinto dígito é
, não aumentamos o quarto dígito.)
Passo 5
Agora multiplicamos esse resultado arredondado por
. Primeiro alinhar expoentes:
. Então
Calculemos o produto exato (antes de arredondar) dos mantissas:
Passo 6
Arredondamento do produto para 4 dígitos significativos: a mantissa é
. Os quatro primeiros dígitos são
→
. O dígito seguinte é
, logo não incrementamos. Assim o resultado final na máquina (após arredondamento) é
Passo 7
Calcular o valor exato da expressão (para comparar e obter o erro). Podemos manipular simbolicamente:
Usando
e
, obtemos o valor exato racional
(na prática:
é o valor exato decimal infinito periódico não inteiro; a fração acima é exata).
Passo 8
Calcular o erro absoluto e relativo entre o resultado da máquina e o valor exato.
Erro absoluto:
Aproximação decimal:
Erro relativo: