Seja F\left(b, p, e_{\text {min }}, e_{\text {max }}\right) a representação de um sistema de ponto flutuante onde b é a base, p é o número de dígitos da mantissa e e_{\text {min }} e e_{\text {max }} são respectivamente o menor e o maior expoente.
Dado o sistema F(10,3,-4,4), obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
10.093

Passo 1

O enunciado pede: representar o número \,10,093\, no sistema de ponto flutuante normalizado F(10,3,-4,4). As informações dadas são:
  • base \,b=10\;,
  • número de dígitos da mantissa \,p=3\; (ou seja, queremos 3 algarismos significativos),
  • menor expoente \,e_{\text{min}}=-4\; e maior expoente \,e_{\text{max}}=4\;.
    Objetivo concreto: escrever \,10,093\, na forma normalizada com exatamente 3 dígitos significativos na mantissa, respeitando a faixa de expoentes.

Passo 2

O que é representação normalizada neste contexto (explicação didática):
  • Em base \,10\,, uma mantissa normalizada tem a forma \,d_1.d_2d_3 com exatamente \,p=3 algarismos significativos d_1,d_2,d_3 e com d_1\neq0 (ou seja, 1\le d_1\le9).
  • A representação geral é \pm d_1.d_2d_3 \times 10^{e}, onde e é um inteiro dentro do intervalo [\,-4,4\,].
  • Como temos apenas 3 algarismos significativos, precisamos arredondar (ou truncar) o número real para 3 dígitos significativos. O procedimento padrão e didático que usaremos é o arredondamento para o vizinho mais próximo: olhar o (p+1)-ésimo dígito significativo; se ele for \ge 5 arredonda-se para cima o último dígito guardado, senão mantém-se.

Passo 3

Passo de normalização (colocar em notação científica antes de cortar/arredondar):
Escrevemos \,10,093\, como um produto de uma mantissa entre 1 e 9,999\ldots por potência de 10:
10,093 = 1,0093 \times 10^{1}.
Aqui extraí do número original (fato direto da representação decimal): \,10,093 = 1,0093\times10^{1}.

Passo 4

Identificar os dígitos significativos e o dígito de arredondamento:
Na mantissa \,1,0093 os dígitos significativos, em ordem, são 1,0,0,9,3. Como queremos somente p=3 dígitos, guardamos os três primeiros: 1,0,0. O quarto dígito significativo é 9 — este é o dígito que decide o arredondamento.

Passo 5

Regra de arredondamento aplicada:
  • Como o quarto dígito é 9 e 9\ge5, devemos arredondar para cima o terceiro dígito guardado.
  • Os três dígitos guardados eram d_1=1,\\ d_2=0,\\ d_3=0. Incrementamos d_3 em 1: d_3 = 0 + 1 = 1.
  • Não houve “carry” que propagasse além do terceiro dígito (se tivesse ocorrido, ajustaríamos os dígitos anteriores), portanto a mantissa arredondada fica 1,01 (lembre que uso a vírgula como separador decimal conforme convenção pedida).

Passo 6

Escrever a representação final e checar o expoente:
A mantissa arredondada é \,1,01 e o expoente permanece e=1. Logo a representação em F(10,3,-4,4) é
1,01 \times 10^{1}.
Verificação do intervalo do expoente: 1\in[\,-4,4\,], então não há underflow nem overflow.

Passo 7

Cheque numérico rápido (para ver se faz sentido):
1,01 \times 10^{1} = 10,1,
que é a aproximação de 10,093 ao manter 3 dígitos significativos (faz sentido: 10,093 arredonda para 10,1 com 3 dígitos significativos).

Resposta

1,01\times 10^{1}

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