São dados os seguintes números, num computador decimal com uma mantissa normalizada de 4 dígitos:
x=0.6423 \times 10^{4} \quad y=0.2324 \times 10^{-3} \quad z=0.1234 \times 10^{1}
Realizar as seguintes operações e calcular o erro absoluto no resultado, considerando o arredondamento:
e) x^{*} y / z

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
  • Calcular a expressão \,x^* y / z\, num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos, usando arredondamento em cada operação feita pela máquina.
  • Calcular o erro absoluto entre o resultado da máquina (após os arredondamentos) e o resultado exato (real).
Valores fornecidos:
x=0{,}6423\times10^{4},\qquad y=0{,}2324\times10^{-3},\qquad z=0{,}1234\times10^{1}.

Passo 2

Regras do formato de ponto flutuante que vamos usar (explicando a matéria de forma prática):
  • Mantissa normalizada de 4 dígitos significa que todos os números armazenados têm a forma \,0.d_1d_2d_3d_4\times10^{e}\, com d_1\neq0 (ou seja, exatamente 4 dígitos significativos na mantissa).
  • Arredondamento: sempre que uma operação produzir mais de 4 dígitos significativos, a mantissa é arredondada para 4 dígitos pelo procedimento usual (arredondar para o dígito mais próximo; se o quinto dígito for \ge5 arredonda-se o quarto para cima).
  • No cálculo de uma expressão como x^* y / z o passo usual na máquina é:
    1. multiplicar x por y e arredondar o produto para 4 dígitos na mantissa;
    2. dividir o resultado arredondado por z e arredondar novamente o quociente para 4 dígitos na mantissa.
      Vou seguir exatamente esse fluxo.

Passo 3

Converter os números para forma decimal simples (para facilitar os cálculos à mão):
x=0{,}6423\times10^{4}=6423, \qquad y=0{,}2324\times10^{-3}=0{,}0002324, \qquad z=0{,}1234\times10^{1}=1{,}234.
Agora calculo o produto exato x\cdot y (antes de qualquer arredondamento):
  • Multiplicação direta:
6423\times0{,}0002324 = 1{,}4927052.
(essa conta pode ser feita multiplicando 6423\times2324=14\,927\,052 e deslocando a vírgula por 10^{7}, dando 1{,}4927052.)

Passo 4

Arredondar o produto x\cdot y para a representação da máquina (mantissa 4 dígitos normalizada):
  • Representar 1{,}4927052 na forma normalizada \,0.d_1d_2d_3d_4\dots\times10^{e}\,:
1{,}4927052 = 0{,}14927052\times10^{1}.
  • Mantissa com 4 dígitos fica com os primeiros quatro dígitos 0{,}1492; o 5.º dígito é 7 (maior que 5), então arredondamos para cima:
0{,}14927052\longrightarrow 0{,}1493\quad\text{(4 dígitos na mantissa)}.í
  • Assim a máquina guarda o produto arredondado como
(x\cdot y)_{\text{maquina}} = 0{,}1493\times10^{1}=1{,}493.
Explanação curta sobre por que arredondamos aqui: a mantissa só guarda quatro dígitos, então descartamos os dígitos extras e ajustamos o quarto dígito conforme o quinto dígito (regra usual de arredondamento).

Passo 5

Dividir o valor arredondado pela máquina por z e arredondar o quociente:
  • Primeiro o quociente exato entre os valores usados pela máquina (isto é, 1{,}493 dividido por 1{,}234):
\frac{1{,}493}{1{,}234} = \frac{1493}{1234}\approx 1{,}2098865478\ldots
(para obter essa aproximação pode-se fazer a divisão longa; dei vários dígitos para ter segurança no arredondamento final).
  • Normalizando esta quantidade:
1{,}2098865478\ldots = 0{,}12098865478\ldots\times10^{1}.
  • Tomamos os 4 dígitos da mantissa: 0{,}1209. O 5.º dígito é 8, portanto arredondamos o quarto dígito para cima:
0{,}12098865\ldots \longrightarrow 0{,}1210.
  • Assim o resultado final que a máquina fornece é
\text{resultado}_{\text{maquina}} = 0{,}1210\times10^{1} = 1{,}210.
Observação: o arredondamento no passo da divisão é feito sobre o quociente obtido com os operandos já arredondados no passo anterior.

Passo 6

Calcular o resultado exato real (sem nenhum arredondamento intermediário) para poder medir o erro absoluto:
  • O resultado exato é
r_{\text{exato}} = \frac{x\cdot y}{z} = \frac{1{,}4927052}{1{,}234}.
Podemos escrever isso como fração para exatidão:
r_{\text{exato}} = \frac{14\,927\,052}{10\,000\,000}\cdot\frac{1000}{1234} = \frac{7\,463\,526}{6\,170\,000}\approx 1{,}209647649\ldots
(algumas casas decimais foram obtidas por divisão longa; os dígitos iniciais são 1{,}209647649\ldots.)

Passo 7

Calcular o erro absoluto entre o resultado da máquina e o exato:
  • A máquina deu 1{,}210. O valor exato é aproximadamente 1{,}209647649\ldots.
  • Diferença (erro absoluto):
\left|1{,}210 - 1{,}209647649\ldots\right| = \frac{7\,465\,700 - 7\,463\,526}{6\,170\,000} = \frac{2\,174}{6\,170\,000} \approx 0{,}00035235056\ldots
Interpretação: o arredondamento sucessivo (primeiro no produto, depois no quociente) levou a um resultado de 1{,}210, com erro absoluto cerca de 3{,}5235\times10^{-4}.

Resposta

Resultado na máquina: 1{,}210
Erro absoluto: 0{,}00035235056

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