São dados os seguintes números, num computador decimal com uma mantissa normalizada de 4 dígitos:
Realizar as seguintes operações e calcular o erro absoluto no resultado, considerando o arredondamento:
e)
e)
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
- Calcular a expressão
num computador decimal com mantissa normalizada de 4 dígitos, usando arredondamento em cada operação feita pela máquina. - Calcular o erro absoluto entre o resultado da máquina (após os arredondamentos) e o resultado exato (real).
Valores fornecidos:
Passo 2
Regras do formato de ponto flutuante que vamos usar (explicando a matéria de forma prática):
- Mantissa normalizada de 4 dígitos significa que todos os números armazenados têm a forma
com (ou seja, exatamente 4 dígitos significativos na mantissa). - Arredondamento: sempre que uma operação produzir mais de 4 dígitos significativos, a mantissa é arredondada para 4 dígitos pelo procedimento usual (arredondar para o dígito mais próximo; se o quinto dígito for
arredonda-se o quarto para cima). - No cálculo de uma expressão como
o passo usual na máquina é: - multiplicar
por e arredondar o produto para 4 dígitos na mantissa; - dividir o resultado arredondado por
e arredondar novamente o quociente para 4 dígitos na mantissa.
Vou seguir exatamente esse fluxo.
- multiplicar
Passo 3
Converter os números para forma decimal simples (para facilitar os cálculos à mão):
Agora calculo o produto exato
(antes de qualquer arredondamento):
- Multiplicação direta:
(essa conta pode ser feita multiplicando
e deslocando a vírgula por
, dando
.)
Passo 4
Arredondar o produto
para a representação da máquina (mantissa 4 dígitos normalizada):
- Representar
na forma normalizada :
- Mantissa com 4 dígitos fica com os primeiros quatro dígitos
; o 5.º dígito é (maior que 5), então arredondamos para cima:
- Assim a máquina guarda o produto arredondado como
Explanação curta sobre por que arredondamos aqui: a mantissa só guarda quatro dígitos, então descartamos os dígitos extras e ajustamos o quarto dígito conforme o quinto dígito (regra usual de arredondamento).
Passo 5
Dividir o valor arredondado pela máquina por
e arredondar o quociente:
- Primeiro o quociente exato entre os valores usados pela máquina (isto é,
dividido por ):
(para obter essa aproximação pode-se fazer a divisão longa; dei vários dígitos para ter segurança no arredondamento final).
- Normalizando esta quantidade:
- Tomamos os 4 dígitos da mantissa:
. O 5.º dígito é , portanto arredondamos o quarto dígito para cima:
- Assim o resultado final que a máquina fornece é
Observação: o arredondamento no passo da divisão é feito sobre o quociente obtido com os operandos já arredondados no passo anterior.
Passo 6
Calcular o resultado exato real (sem nenhum arredondamento intermediário) para poder medir o erro absoluto:
- O resultado exato é
Podemos escrever isso como fração para exatidão:
(algumas casas decimais foram obtidas por divisão longa; os dígitos iniciais são
.)
Passo 7
Calcular o erro absoluto entre o resultado da máquina e o exato:
- A máquina deu
. O valor exato é aproximadamente . - Diferença (erro absoluto):
Interpretação: o arredondamento sucessivo (primeiro no produto, depois no quociente) levou a um resultado de
, com erro absoluto cerca de
.
Resposta
Resultado na máquina:
Erro absoluto:
Erro absoluto: