No sistema de ponto flutuante normalizado SPF (2,3,-1,2), represente, em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações:
0.101 \times 2^{0}+0.111 \times 2^{1}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e pede (sem resolver ainda).
  • O sistema de ponto flutuante normalizado é (\beta,p,e_{\min},e_{\max})=(2,3,-1,2).
  • Isso significa:
    • base \beta=2,
    • precisão p=3 dígitos binários no mantissa (ou seja, mantissa do formato \;0.d_1d_2d_3\; com d_1=1 para números normalizados),
    • expoentes permitidos -1 \le e \le 2.
  • Os dois números a somar são
    • \;0.101\times 2^{0}\; e
    • \;0.111\times 2^{1}\;.
  • O enunciado pede que eu dê:
    • o valor arredondado (arredondamento para a precisão p=3),
    • e o valor obtido por corte (truncamento, também chamado de “chopping”),
      ambos representados no sistema SPF acima.

Passo 2

Entender os valores exatamente (em binário) e calcular a soma exata antes de aplicar qualquer arredondamento.
  • Primeiro número: \;0.101_2\times 2^{0} = 0{,}101_2.
  • Segundo número: \;0.111_2\times 2^{1} = 0{,}111_2\times 2^{1}.
Calculo direto (em binário) da soma exata: convém alinhar expoentes e somar as mantissas com precisão extra para não perder informação.

Passo 3

Alinhar expoentes para fazer a soma (passo padrão em aritmética de ponto flutuante).
  • Os expoentes são 0 e 1. O maior é 1. Escrevo o primeiro número com expoente 1: 0.101\times 2^{0} = 0.0101\times 2^{1}.(a mantissa foi deslocada uma casa à direita; acrescentei um dígito extra à direita para preservar informação).
  • O segundo número já está com expoente 1: 0.111\times 2^{1} = 0.1110\times 2^{1}.(pusemos um zero à direita para ter mesma quantidade de casas)
Agora somo as duas mantissas (todas com expoente 1):
0.0101 + 0.1110 = 1.0011.

Passo 4

Normalizar o resultado da soma (passo necessário porque obtive uma mantissa \ge 1).
  • A soma deu \;1.0011\times 2^{1}.
  • Para manter formato normalizado com mantissa começando por 0.1 (formato usado no enunciado), converto: 1.0011\times 2^{1} = 0.10011\times 2^{2}.
  • Esse é o valor exato da soma em notação binária: mantissa \;0.10011\; com expoente 2.
  • Verificação decimal rápida (apenas para intuir): 0.101_2=0,625; 0.111_2\times2=1,75; soma exata =2,375. Em binário 2,375=10.011_2 que corresponde ao que encontramos.

Passo 5

Aplicar as regras de arredondamento e de truncamento para reduzir a mantissa à precisão p=3.
  • Precisão p=3 significa conservar apenas os três dígitos da mantissa: formato \;0.d_1d_2d_3\times 2^e.
  • O resultado exato tem mantissa \;0.10011.
    • Os três primeiros dígitos são \;0.100.
    • Os bits seguintes (bits “extra”) são \;1\;1 (ou seja, o quarto bit é 1).
  • Truncamento (corte): simplesmente eliminar os bits após os três primeiros, sem arredondar.
    • Mantissa truncada: \;0.100.
    • Resultado por corte: \;0.100\times 2^{2}.
  • Arredondamento (para o mais próximo): examinar o primeiro bit que foi eliminado (o quarto bit). Como esse bit é 1 (e há bits não nulos depois dele), deve-se arredondar para cima.
    • Mantissa antes do arredondamento: \;0.100.
    • Adicionando 1 na última posição de mantissa (bit menos significativo) resulta em \;0.101.
    • Resultado arredondado: \;0.101\times 2^{2}.

Passo 6

Verificação e interpretação numérica (para dar intuição, opcional mas útil).
  • Resultado exato em decimal: 2,375.
  • Resultado truncado: \;0.100_2\times 2^{2} = 0{,}100_2\times 4 = 0{,}5\times 4 = 2,0.
  • Resultado arredondado: \;0.101_2\times 2^{2} = 0{,}101_2\times 4 = 0{,}625\times 4 = 2,5.
  • Observe que ambos resultados estão dentro do intervalo de expoentes permitido ( e=2 é permitido).

Resposta

\text{Arredondado: }0.101\times 2^{2}
\text{Truncado (corte): }0.100\times 2^{2}

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