No sistema de ponto flutuante normalizado SPF
, represente, em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações:
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e pede (sem resolver ainda).
- O sistema de ponto flutuante normalizado é
. - Isso significa:
- base
, - precisão
dígitos binários no mantissa (ou seja, mantissa do formato com para números normalizados), - expoentes permitidos
.
- base
- Os dois números a somar são
-
e -
.
-
- O enunciado pede que eu dê:
- o valor arredondado (arredondamento para a precisão
), - e o valor obtido por corte (truncamento, também chamado de “chopping”),
ambos representados no sistema SPF acima.
- o valor arredondado (arredondamento para a precisão
Passo 2
Entender os valores exatamente (em binário) e calcular a soma exata antes de aplicar qualquer arredondamento.
- Primeiro número:
. - Segundo número:
.
Calculo direto (em binário) da soma exata: convém alinhar expoentes e somar as mantissas com precisão extra para não perder informação.
Passo 3
Alinhar expoentes para fazer a soma (passo padrão em aritmética de ponto flutuante).
- Os expoentes são
e . O maior é . Escrevo o primeiro número com expoente : (a mantissa foi deslocada uma casa à direita; acrescentei um dígito extra à direita para preservar informação). - O segundo número já está com expoente
: (pusemos um zero à direita para ter mesma quantidade de casas)
Agora somo as duas mantissas (todas com expoente
):
Passo 4
Normalizar o resultado da soma (passo necessário porque obtive uma mantissa
).
- A soma deu
. - Para manter formato normalizado com mantissa começando por
(formato usado no enunciado), converto: - Esse é o valor exato da soma em notação binária: mantissa
com expoente . - Verificação decimal rápida (apenas para intuir):
; ; soma exata . Em binário que corresponde ao que encontramos.
Passo 5
Aplicar as regras de arredondamento e de truncamento para reduzir a mantissa à precisão
.
- Precisão
significa conservar apenas os três dígitos da mantissa: formato . - O resultado exato tem mantissa
. - Os três primeiros dígitos são
. - Os bits seguintes (bits “extra”) são
(ou seja, o quarto bit é ).
- Os três primeiros dígitos são
- Truncamento (corte): simplesmente eliminar os bits após os três primeiros, sem arredondar.
- Mantissa truncada:
. - Resultado por corte:
.
- Mantissa truncada:
- Arredondamento (para o mais próximo): examinar o primeiro bit que foi eliminado (o quarto bit). Como esse bit é
(e há bits não nulos depois dele), deve-se arredondar para cima. - Mantissa antes do arredondamento:
. - Adicionando 1 na última posição de mantissa (bit menos significativo) resulta em
. - Resultado arredondado:
.
- Mantissa antes do arredondamento:
Passo 6
Verificação e interpretação numérica (para dar intuição, opcional mas útil).
- Resultado exato em decimal:
. - Resultado truncado:
. - Resultado arredondado:
. - Observe que ambos resultados estão dentro do intervalo de expoentes permitido (
é permitido).