No sistema de ponto flutuante normalizado SPF (2,3,-1,2), represente, em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações:
0.101 \times 2^{0}+0.110 \times 2^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para somar os dois números em ponto flutuante e mostrar, para essa operação, o resultado com arredondamento (para o formato) e o resultado por corte (truncamento). As informações dadas são:
  • Formato SPF (2,3,-1,2).
  • Primeiro operando: 0.101 \times 2^{0}.
  • Segundo operando: 0.110 \times 2^{-1}.

Passo 2

Vou explicar o que significa o formato (2,3,-1,2) porque isso é essencial para saber como representar o resultado:
  • A base é \beta=2.
  • O número de dígitos significativos (precisão) é t=3. Aqui isso significa que a mantissa normalizada tem exatamente três dígitos binários após o ponto na forma usada no enunciado (isto é, mantissa do tipo 0.d_{1}d_{2}d_{3} com d_{1}=1 para normalização em binário).
  • O expoente mínimo é e_{\min}=-1 e o máximo é e_{\max}=2. Ou seja, depois de normalizar, o expoente final deve ficar entre -1 e 2.
Observação sobre normalização (explicando com calma): em binário normalizado, o primeiro dígito não-nulo depois do ponto é 1. No enunciado os números já estão nessa forma: por exemplo 0.101\times2^{0} tem os três dígitos (1,0,1) e d_{1}=1.

Passo 3

Convém também entender os valores exatos (para checar resultado):
  • Calcular o valor decimal/binary de cada operando: 0.101_{2}= \tfrac{1}{2}+\tfrac{0}{4}+\tfrac{1}{8} = 0{,}625.Logo \;0.101\times2^{0}=0{,}625. 0.110_{2}= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{0}{8}=0{,}75.Logo \;0.110\times2^{-1}=0{,}75\times\tfrac{1}{2}=0{,}375.
  • Soma exata: 0{,}625+0{,}375=1{,}0.
Em binário isso é exatamente 1{,}0_{2}.

Passo 4

Para fazer a soma em ponto flutuante precisamos alinhar expoentes. O maior expoente entre os dois operandos é 0 (do primeiro). Vamos escrever ambos com expoente 0.
  • Primeiro operando já está com expoente 0: 0.101\times2^{0}.
  • Segundo operando tem expoente -1. Para mudar o expoente para 0 devemos dividir a mantissa por 2 (deslocar um bit à direita): 0.110\times2^{-1} = 0.0110\times2^{0}.
Expliquei a forma 0.0110: ao deslocar para a direita, acrescenta-se um zero à esquerda do campo de fração; mantive aqui quatro dígitos para mostrar bits extras (guard/round) durante a soma.
Também expando o primeiro operando com um bit extra para alinhar comprimentos:
0.101\times2^{0} = 0.1010\times2^{0}.
Agora ambos têm 4 dígitos escritos para a soma: 0.1010 e 0.0110.

Passo 5

Somamos as mantissas (todas em expoente 0):
0.1010 + 0.0110 = 1.0000.
Detalhe do soma bit a bit:
  • 0 + 0 = 0 (LSB)
  • 1 + 1 = 0 com carry 1
  • somando os próximos bits com carry acaba gerando um 1 na posição à esquerda do ponto fracionário, dando 1.0000 no conjunto.
O resultado da soma das mantissas é 1.0000\times2^{0}. Para ficar na forma normalizada do enunciado (mantissa começando por 0.1 com expoente ajustado), deslocamos um bit para a direita e incrementamos o expoente em 1:
1.0000\times2^{0} = 0.10000\times2^{1}.

Passo 6

Agora devemos arredondar/truncar para o formato com t=3 dígitos na mantissa (ou seja, manter apenas três bits após o ponto em 0.d_{1}d_{2}d_{3}).
O resultado antes do ajuste final tem mantissa estendida 0.10000. Os três primeiros bits após o ponto são 1,0,0. Os bits seguintes (para decidir arredondamento) são todos zeros aqui: os bits além do terceiro são 0,0,\dots.
  • Arredondamento para o mais próximo: como os bits “descarregados” são todos zeros, não há necessidade de incrementar; o valor arredondado é exatamente 0.100\times2^{1}.
  • Truncamento (corte): cortando os bits após os três primeiros também dá 0.100\times2^{1}.
Ou seja, neste caso específico o resultado exato é exatamente representável no formato pedido, então tanto arredondamento quanto truncamento coincidem.

Passo 7

Verificação final do expoente: o expoente final é 1, que está dentro do intervalo permitido [e_{\min},e_{\max}]=[-1,2]. Logo a representação é válida no formato SPF dado.

Resposta

Arredondado: 0.100\times2^{1}
Truncado: 0.100\times2^{1}

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