São dados três vetores em metros:
& d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k & d2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k & d3=2,0 i+3,0 j+1,0 k
Determine d1 cdot(d2 times d3).

Passo 1

Beleza, o enunciado dá três vetores
vec d1 = (-3,,3,,2), vec d2 = (-2,,-4,,2), vec d3 = (2,,3,,1)
e pede o produto escalar misto
vec d1cdot(vec d2timesvec d3)
Isso é conteúdo de álgebra vetorial, mais precisamente produto vetorial (cross) e produto escalar (dot). A ideia é: primeiro a gente calcula vec d2timesvec d3, depois faz o dot com vec d1.

Passo 2

Vamos achar vec d2timesvec d3. Lembra que o produto vetorial de dois vetores em R^3 é dado pelo determinante
vec atimesvec b = hat i & hat j & hat k ax & ay & az bx & by & bz
Aqui
$$
\vec d_2\times\vec d_3

vec d2timesvec d3 = hat i & hat j & hat k -2 & -4 & 2 2 & 3 & 1 .
$$
Então cada componente é
- Componente hat i: (-4)cdot1 - 2cdot3 = -4-6 = -10.
- Componente hat j: (-2)cdot1 - 2cdot2 = -2-4 = -6, mas atenção: no determinante ela vem com sinal invertido, então fica -(-6)=+6.
- Componente hat k: (-2)cdot3 - (-4)cdot2 = -6 -(-8)= -6+8 =2.
Logo
vec d2timesvec d3 = -10,hat i + 6,hat j + 2,hat k

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de vec d1=(-3,3,2) com o vetor que achamos:
vec d1cdot(vec d2timesvec d3) = (-3)cdot(-10) + 3cdot6 + 2cdot2
O produto escalar em R^3 é simplesmente soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 4

É só calcular:
(-3)(-10)=30, 3cdot6=18, 2cdot2=4
Somando tudo: 30+18+4 = 52.

Resposta

vec d1cdot(vec d2timesvec d3) = 52 m^3

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