Quais são as dimensões e quais as unidades SI de uma função de onda do átomo de hidrogênio?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais são as dimensões e quais as unidades SI de uma função de onda do átomo de hidrogênio?”
Conteúdo da matéria: mecânica quântica básica, mais especificamente a interpretação da função de onda e análise de dimensões físicas.
O que vamos precisar:
  • Entender que |ψ|² é uma densidade de probabilidade (unidade 1/volume).
  • Usar normalização: ∫|ψ|² dV = 1.
  • Fazer análise dimensional para achar as dimensões de ψ.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra que em mecânica quântica a função de onda ψ(r,θ,φ) só faz sentido se |ψ|² dV der chance (probabilidade) de encontrar o elétron num volume infinitesimal dV. Então:
P(encontrar no volume dV)=|psi|^2,dV
Como probabilidade não tem dimensão (é adimensional), temos:
[|psi|^2,dV] = 1;(adimensional)

Passo 3

Agora, analisando as dimensões:
  • dV é um volume, então tem dimensão [L³].
  • Se |ψ|²·[L³] é adimensional, então |ψ|² deve ter dimensão [L^{-3}].
    Logo, as dimensões de ψ são a raiz disso:
[psi] = [L^-3/2]

Passo 4

Para converter em unidades SI, a dimensão de comprimento L vira metro (m). Portanto:
[psi] = m^-3/2

Resposta

Dimensão de ψ: L^(–3/2)
Unidade SI de ψ: m^(–3/2)

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