Seja
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2+3 x)
um campo vetorial em R^2-(0,0). Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva C orientada no sentido anti-horário, onde
C é a circunferência de equação x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
ointCP,dx+Q,dy
de
F(x,y)=l(-yx^2+y^2,;xx^2+y^2+3xr)
ao longo da circunferência x^2+y^2=4 orientada no sentido anti-horário. Note que F não está definida na origem, então decompomos
F=F1+F2,
onde
F1(x,y)=l(-yx^2+y^2,;xx^2+y^2r), F2(x,y)=(0,,3x)
Assim
ointCFcdot dr =ointCF1cdot dr +ointCF2cdot dr

Passo 2

Calculamos
ointCF1cdot dr
usando x=2cos t, y=2sin t, 0<= t<=2pi. Então
dx=-2sin t,dt, dy=2cos t,dt, x^2+y^2=4,
e
ointCF1cdot dr =integral0^2pil(-tfrac2sin t4r)(-2sin t) +l(tfrac2cos t4r)(2cos t),dt =integral0^2pi1,dt =2pi

Passo 3

Agora
ointCF2cdot dr =ointC0,dx+3x,dy =3ointC x,dy
Com a mesma parametrização,
x=2cos t, dy=2cos t,dt,
segue
3ointC x,dy =3integral0^2pi2cos tcdot2cos t,dt =12integral0^2picos^2 t,dt =12cdotpi =12pi

Passo 4

Somando as contribuições:
ointCFcdot dr =2pi+12pi =14pi

Resposta

A integral de linha de F sobre C é 14pi.

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