Se R são investidos a juros de são investidos a juros de ao ano, capitalizados n vezes por ano, o montante após 1 ano é ao ano, capitalizados n vezes por ano, o montante após 1 ano é , em que , em que é o período de capitalização, ou seja, o intervalo entre duas capitalizações sucessivas. Assim, por exemplo, se é o período de capitalização, ou seja, o intervalo entre duas capitalizações sucessivas Assim, por exemplo, se , o período de capitalização é , o período de capitalização é de ano, ou seja 3 meses.
Quando o período de capitalização tende a zero, dizemos que os juros são capitalizados continuamente; nesse caso, o montante após 1 ano é dado pelo limite
de ano, ou seja 3 meses Quando o período de capitalização tende a zero, dizemos que os juros são capitalizados continuamente; nesse caso, o montante após 1 ano é dado pelo limite
Estime o valor desse limite completando a segunda coluna da tabela a seguir:
M=lim x 0 1000(1+0,05 x)^1 / x Estime o valor desse limite comp<=tando a segunda coluna da tabela a seguir: |
1
0,1
0,01
0,001
0,0001

Passo 1

O enunciado pede para estimar o montante após 1 ano de um capital de R$ 1000,00 a 5 % a.a. com capitalização n vezes por ano, tomando x=1/n como o período e calculando M(x)=1000*(1+0,05 x)^{1/x} para vários x decrescentes. Para facilitar a conta com valores pequenos de x, escrevemos
1000,00 a 5 % aa com capitalização n vezes por ano, tomando x=1/n como o período e calculando M(x)=1000*(1+0,05 x)^1/x para vários x decrescentes Para facilitar a conta com valores pequenos de x, escrevemos

Passo 2

Para x=1 temos M(1)=1000*(1+0,05)^1=1000*1,05=1050,00.

Passo 3

Para x=0,1 temos M(0,1)=1000*(1+0,005)^{10}. Calculando ln(1,005)≈0,0049875, então 10·ln(1,005)≈0,049875 e M≈1000·e^{0,049875}≈1051,13.

Passo 4

Para x=0,01 temos M(0,01)=1000*(1+0,0005)^{100}. Como ln(1,0005)≈0,000499875, então 100·ln(1,0005)≈0,0499875 e M≈1000·e^{0,0499875}≈1051,26.

Passo 5

Para x=0,001 e x=0,0001 fazemos o mesmo: ln(1+0,05x)≈0,05x–(0,05x)^2/2…; para x=0,001 chega-se a M≈1051,27 e para x=0,0001 também M≈1051,27, mostrando convergência ao valor de juro composto contínuo.

Resposta

Segue a tabela com os valores aproximados:
c|c x & 1000(1+0,05x)^1/x hline 1 & 1050,00 0,1 & 1051,13 0,01 & 1051,26 0,001 & 1051,27 0,0001 & 1051,27

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