São lançados dois dados. Ache a probabilidade de:
Obter-se um par de pontos diferentes.
Obter-se um par de pontos diferentes.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar dois dados, obter um par de pontos diferentes. Informações dadas (implicitamente):
- São lançados dois dados comuns, com faces numeradas de
a . - Cada face de cada dado é igualmente provável.
A pergunta específica é: qual a probabilidade de os números mostrados pelos dois dados serem diferentes?
Passo 2
Definir espaço amostral e regra de contagem.
- Um resultado do experimento é um par ordenado
, onde é o resultado do primeiro dado e o do segundo, com . - Como cada dado tem
resultados possíveis e os lançamentos são independentes, o número total de resultados possíveis é
Explicação rápida da regra: se há
opções para a primeira escolha e
opções para a segunda, então há
combinações possíveis — aqui
.
Passo 3
Contar os casos favoráveis (pares com pontos diferentes).
Método 1 (contagem direta): para o primeiro dado há possibilidades; para o segundo, para ser diferente do primeiro, há
possibilidades. Logo:
Método 1 (contagem direta): para o primeiro dado há
Método 2 (complemento): contar os pares iguais (dobras) e subtrair do total. Existem exatamente
pares iguais:
. Assim:
Os dois métodos coincidem, como esperado.
Passo 4
Aplicar a definição de probabilidade (casos favoráveis sobre casos possíveis).
A probabilidade pedida é
A probabilidade pedida é
Passo 5
Simplificar a fração e conferir com a regra do complemento.
- Simplificando
dividindo numerador e denominador por :
- Checagem pelo complemento: probabilidade de pontos iguais é
. Logo probabilidade de diferentes é , mesma resposta.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova
- A resposta
significa que, entre as situações possíveis, têm números distintos — ou seja, na prática, em média 5 de cada 6 lançamentos de dois dados resultam em pontos diferentes. - Para provas: lembrar que é muitas vezes mais fácil contar o complementar (pares iguais) ou usar a regra multiplicativa (primeiro dado qualquer, segundo deve ser diferente:
).