Verifique se o subconjunto
1-x^3,(1-x)^2, 1-x, 1
é uma base para o conjunto dos polinômios de grau <= 3, denotado por P3.

Passo 1

O espaço P3 dos polinômios de grau <=4 tem dimensão 4 e base canônica 1,x,x^2,x^3. O conjunto dado
,1-x^3,;(1-x)^2,;1-x,;1
tem 4 elementos, então basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam base.

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base 1,x,x^2,x^3:
1 - x^3 = 1cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 + (-1)cdot x^3,
(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 = 1cdot1 + (-2)cdot x + 1cdot x^2 + 0cdot x^3,
1 - x = 1cdot1 + (-1)cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3,
1 = 1cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3

Passo 3

Formamos a matriz Ain R^4times4 cujas colunas são esses vetores de coordenadas. Para testar independência, subtraímos a quarta coluna das três primeiras, obtendo uma matriz triangular cujo determinante é -1neq0. Portanto det Aneq0.

Passo 4

Como det Aneq0, os quatro polinômios são linearmente independentes. Tendo o mesmo número de vetores da base canônica (4), eles também geram P3. Logo formam uma base.

Resposta

Sim, ,1-x^3,;(1-x)^2,;1-x,;1 é uma base de P3.

Exercícios relacionados