Verifique se o subconjunto
é uma base para o conjunto dos polinômios de grau
, denotado por
.
Passo 1
O espaço
dos polinômios de grau
tem dimensão 4 e base canônica
. O conjunto dado
tem 4 elementos, então basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam base.
tem 4 elementos, então basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam base.
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base
:
Passo 3
Formamos a matriz
cujas colunas são esses vetores de coordenadas. Para testar independência, subtraímos a quarta coluna das três primeiras, obtendo uma matriz triangular cujo determinante é
. Portanto
.
Passo 4
Como
, os quatro polinômios são linearmente independentes. Tendo o mesmo número de vetores da base canônica (4), eles também geram
. Logo formam uma base.
Resposta
Sim,
é uma base de
.