a) Encontre a matriz de passagem da base para a base , denotada por ;
b) Encontre a matriz de passagem da base para a base , denotada por ;
c) Verifique se vale a igualdade
d) O que você conclui do item c).
Passo 1
O enunciado dá duas bases de ,
com
Queremos (a) a matriz de passagem de para , isto é, a matriz tal que, para todo vetor , ; (b) a matriz inversa de para ; (c) verificar se ; e (d) concluir o significado.
Passo 2
Para achar
Isso dá o sistema
cuja solução é . Logo .
Analogamente, para obtemos
ou seja .
Portanto
Passo 3
Para achar Q, escrevemos cada vi em função de u1,u2.
Para v1=(1,2)=ccdot u1+dcdot u2 temos
Vimos que P,Q=Q,P=I2. Como Q é inversa de P, o produto de uma matriz e sua inversa comuta e vale a identidade.
Resposta
a) P=-2 & 2-3 & 1
b) Q=tfrac14 & -tfrac12[3pt]tfrac34 & -tfrac12
c) Pcdot Q=Qcdot P=I2
d) Concluímos que as matrizes de passagem entre duas bases são inversas uma da outra e, consequentemente, comutam, produzindo a matriz identidade.]