Sejam
u=u1, u2 v=v1, v2
duas bases de R^2, onde
u1=(-5,2), u2=(3,2), v1=(1,2), v2=(1,-2)
a) Encontre a matriz de passagem da base U para a base V, denotada por [pi j]V V^i;
b) Encontre a matriz de passagem da base V para a base U, denotada por [qi j]U^nu;
c) Verifique se vale a igualdade
[pi j]v^u cdot[qi j]u^v=[qi j]u^v cdot[pi j]v^u
d) O que você conclui do item c).

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2,
U=u1,u2, V=v1,v2,
com
u1=(-5,2),;u2=(3,2),;v1=(1,2),;v2=(1,-2)
Queremos (a) a matriz de passagem de U para V, isto é, a matriz P tal que, para todo vetor x, [x] V=P,[x] U; (b) a matriz inversa Q de V para U; (c) verificar se PQ=QP; e (d) concluir o significado.

Passo 2

Para achar
Isso dá o sistema
cuja solução é . Logo .
Analogamente, para obtemos
ou seja .
Portanto

Passo 3

Para achar Q, escrevemos cada vi em função de u1,u2.
Para v1=(1,2)=ccdot u1+dcdot u2 temos
-5c+3d=1, 2c+2d=2 ;Longrightarrow; c=tfrac14,;d=tfrac34,
logo [v1]U=(tfrac14,tfrac34)^T.
Para v2=(1,-2)=ccdot u1+dcdot u2 obtemos
-5c+3d=1, 2c+2d=-2 ;Longrightarrow; c=-tfrac12,;d=-tfrac12,
ou seja [v2]U=(-tfrac12,-tfrac12)^T.
Assim
Q=l[[v1]U;|;[v2]Ur] =tfrac14 & -tfrac12[6pt]tfrac34 & -tfrac12 ]

Passo 4

Calculamos
Pcdot Q =-2 & 2-3 & 1 tfrac14 & -tfrac12[3pt]tfrac34 & -tfrac12 =1&00&1,
e
Qcdot P =tfrac14 & -tfrac12[3pt]tfrac34 & -tfrac12 -2 & 2-3 & 1 =1&00&1 ]

Passo 5

Vimos que P,Q=Q,P=I2. Como Q é inversa de P, o produto de uma matriz e sua inversa comuta e vale a identidade.

Resposta

a) P=-2 & 2-3 & 1
b) Q=tfrac14 & -tfrac12[3pt]tfrac34 & -tfrac12
c) Pcdot Q=Qcdot P=I2
d) Concluímos que as matrizes de passagem entre duas bases são inversas uma da outra e, consequentemente, comutam, produzindo a matriz identidade.]

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