Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado diz que
são números positivos com
e pergunta quais valores pode assumir o produto
. O conteúdo aqui envolve análise de extremos de produto sob restrição de soma e uso do Desigualdade A.M.–G.M.
Passo 2
Para achar o infimum de
, note que como
então sempre
. Por outro lado, podemos fazer um dos variáveis, digamos
, tender a zero escolhendo
(ainda cumprindo
). Nesse caso
Logo o menor valor possível de
é arbitrariamente próximo de zero, mas nunca igual a zero. Em símbolos, o infimum de
é
, não atingido.
Passo 3
Para achar o supremum de
, fixamos primeiro a soma
e aplicamos a Desigualdade A.M.–G.M.:
Como
, o máximo de
ocorre em
, dando
Esse valor
é obtido quando
, que satisfaz
. Logo o supremum de
é
, e ele é atingido.
Passo 4
Entre esses extremos, o conjunto de valores de
é todo o intervalo aberto em zero e fechado em um, pois:
- Para produzir valores muito pequenos, basta deixar uma das variáveis muito próxima de zero e ajustar as outras duas para que a soma permaneça
. - Para qualquer valor em
existe uma escolha contínua de que realize esse produto.
Resposta
O conjunto de valores possíveis de
é