Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x+y+z <= 3, qual é o conjunto de valores de x y z?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z são números positivos com
1 <= x+y+z <= 3
e pergunta quais valores pode assumir o produto xyz. O conteúdo aqui envolve análise de extremos de produto sob restrição de soma e uso do Desigualdade A.M.–G.M.

Passo 2

Para achar o infimum de xyz, note que como x,y,z>0 então sempre xyz>0. Por outro lado, podemos fazer um dos variáveis, digamos z, tender a zero escolhendo x+y=1 (ainda cumprindo x+y+z>=1). Nesse caso
limzto0^+xyz ;=;0
Logo o menor valor possível de xyz é arbitrariamente próximo de zero, mas nunca igual a zero. Em símbolos, o infimum de xyz é 0, não atingido.

Passo 3

Para achar o supremum de xyz, fixamos primeiro a soma S=x+y+z e aplicamos a Desigualdade A.M.–G.M.:
x+y+z3;>=;raiz[3]xyz Longrightarrow xyz;<=;l(S3r)^3
Como 1<= S<=3, o máximo de l(tfracS3r)^3 ocorre em S=3, dando
xyz;<=;1
Esse valor 1 é obtido quando x=y=z=1, que satisfaz x+y+z=3. Logo o supremum de xyz é 1, e ele é atingido.

Passo 4

Entre esses extremos, o conjunto de valores de xyz é todo o intervalo aberto em zero e fechado em um, pois:
  • Para produzir valores muito pequenos, basta deixar uma das variáveis muito próxima de zero e ajustar as outras duas para que a soma permaneça >=1.
  • Para qualquer valor em (0,1] existe uma escolha contínua de (x,y,z) que realize esse produto.

Resposta

O conjunto de valores possíveis de xyz é
(0,1]

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