Se A=(ai j)5 times 2 B=(bi j)5 times 2 são tais que ai j=2(i-j) e bi j=cli j & se i <= j i-3 & se i>j.Encontre:
a fórmula geral para obter cada ci j através dos índices i e j onde (ci j)=A B^t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, A e B, cada uma de tamanho 5x2. A matriz A é definida por aij = 2(i - j) e a matriz B tem elementos definidos de forma diferente dependendo de i e j . A gente precisa encontrar uma fórmula geral para cada elemento cij da matriz resultado C = A cdot B^t . Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e transposição para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa B^t . A notação B^t representa a transposta da matriz B. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se B é 5x2, B^t será 2x5.

Passo 3

Agora, para multiplicar a matriz A (5x2) pela matriz B^t (2x5), a gente usa a regra de multiplicação de matrizes. Cada elemento cij da matriz resultado C (5x5) é calculado multiplicando os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B^t e somando esses produtos.

Passo 4

Vamos escrever isso matematicamente:
cij = sumk=1^2 aik cdot bjk
Isso significa que para cada cij , a gente soma os produtos dos elementos correspondentes de A e B para k indo de 1 a 2.

Passo 5

Agora, vamos substituir aik e bjk pelas suas definições:
  • aik = 2(i - k)
  • bjk depende de j e k :
    • Se j <= k , então bjk = j cdot k
    • Se j > k , então bjk = j - 3

Passo 6

Portanto, a fórmula para cij fica:
cij = 2(i - 1) cdot bj1 + 2(i - 2) cdot bj2
Aqui, substituímos k = 1 e k = 2 na soma.

Passo 7

Vamos agora detalhar bj1 e bj2 com base nas condições:
  • Para bj1 :
    • Se j <= 1 , ou seja, j = 1 , então bj1 = 1 cdot 1 = 1
    • Se j > 1 , então bj1 = j - 3
  • Para bj2 :
    • Se j <= 2 , então bj2 = j cdot 2
    • Se j > 2 , então bj2 = j - 3

Passo 8

Agora, substituindo essas expressões na fórmula de cij , temos:
cij = 2(i - 1) cdot 1 + 2(i - 2) cdot (j cdot 2) & se j <= 1 2(i - 1) cdot (j - 3) + 2(i - 2) cdot (j cdot 2) & se j > 1 e j <= 2 2(i - 1) cdot (j - 3) + 2(i - 2) cdot (j - 3) & se j > 2

Resposta

A fórmula geral para cada elemento cij da matriz C = A cdot B^t é:
cij = 2(i - 1) + 4(i - 2)j & se j = 1 2(i - 1)(j - 3) + 4(i - 2)j & se j = 2 2(i - 1)(j - 3) + 2(i - 2)(j - 3) & se j > 2

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