Se são tais que e .Encontre:
a fórmula geral para obter cada ci j através dos índices i e j onde (ci j)=A B^t;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, A e B, cada uma de tamanho 5x2. A matriz A é definida por aij = 2(i - j) e a matriz B tem elementos definidos de forma diferente dependendo de i e j . A gente precisa encontrar uma fórmula geral para cada elemento cij da matriz resultado C = A cdot B^t . Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e transposição para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa B^t . A notação B^t representa a transposta da matriz B. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se B é 5x2, B^t será 2x5.
Passo 3
Agora, para multiplicar a matriz A (5x2) pela matriz B^t (2x5), a gente usa a regra de multiplicação de matrizes. Cada elemento cij da matriz resultado C (5x5) é calculado multiplicando os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B^t e somando esses produtos.
Passo 4
Vamos escrever isso matematicamente:
cij = sumk=1^2 aik cdot bjk
Isso significa que para cada cij , a gente soma os produtos dos elementos correspondentes de A e B para k indo de 1 a 2.
Passo 5
Agora, vamos substituir aik e bjk pelas suas definições:
aik = 2(i - k)
bjk depende de j e k :
Se j <= k , então bjk = j cdot k
Se j > k , então bjk = j - 3
Passo 6
Portanto, a fórmula para cij fica:
cij = 2(i - 1) cdot bj1 + 2(i - 2) cdot bj2
Aqui, substituímos k = 1 e k = 2 na soma.
Passo 7
Vamos agora detalhar bj1 e bj2 com base nas condições:
Para bj1 :
Se j <= 1 , ou seja, j = 1 , então bj1 = 1 cdot 1 = 1
Se j > 1 , então bj1 = j - 3
Para bj2 :
Se j <= 2 , então bj2 = j cdot 2
Se j > 2 , então bj2 = j - 3
Passo 8
Agora, substituindo essas expressões na fórmula de cij , temos: